Question

Factorizar por el teorema de la raíz racional: k³ - 8k² + 17k - 4

Answer 1

Respuesta:

${k}^{3} - 8 {k}^{2} + 17k - 4 = (k - 4)( {k}^{2} - 4k + 1)$

Explicación paso a paso:

$x = k$

Teorema de la raíz racional

$a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_0$

tal que:

$a_{0} =u= 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: a_{n} =v= 1$

Fracción por multiplicar

$\frac{v(x - u)}{v(x - u)} = \frac{x - 4}{x - 4}$

Reescribiendo ecuación

$(x - 4) \frac{ {x}^{3} - 8 {x}^{2} + 17x - 4 }{x - 4}$

Evaluando parte fraccionaria

$\frac{ {x}^{3} - 8 {x}^{2} + 17x - 4 }{x - 4}:\frac{ {x}^{3} - 8 {x}^{2} + 17x - 4 }{x - 4}$

${x}^{2} + \frac{ { - 4}x^{2} + 17x - 4 }{x - 4}$

$\frac{ { - 4}x^{2} + 17x - 4 }{x - 4} :\frac{ { - 4}x^{2} + 17x - 4 }{x - 4}$

$x ^{2} - 4x + \frac{x - 4}{x - 4}$

$\frac{x - 4}{x - 4} :\frac{x - 4}{x - 4}$

$x ^{2} - 4x + 1$

Luego de sus respectivas evaluaciones se concluye que

la factorización resulta:

${x}^{3} - 8 {x}^{2} + 17x - 4 = (x - 4)( {x}^{2} - 4x + 1)$

Answer 2

Teorema de la raíz racional: para una ecuación polinomial con coeficientes enteros:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$

si $a_0$ y $a_n$ son enteros, si hay una solución racional, esta puede ser encontrada verificando todos los números producidos por los

(± divisores de $a_0$) / (divisores de $a_n$)

-----

$a_0$ = 4,  $a_n$ = 1

Los divisores de  $a_0$ : 1, 2, 4,

Los divisores de $a_n$ : 1

Por lo tanto, verificar los siguientes números racionales: ± $\frac{1, 2, 4}{1}$

$\frac{4}{1}$ es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar $k-4$

= $(k-4) \frac{k^3 - 8k^2 + 17k - 4}{k-4}$

------

Dividir $\frac{k^3 - 8k^2 + 17k - 4}{k-4}$:

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador $k^3-8k^2+17k-4$ y el divisor $k-4$:

$\frac{k^3}{k} = k^2$

Cociente = $k^2$

---

Multiplicar $k-4$ por $k^2$:

$(k-4)(k^2) = k^3 - 4k^2$

Substraer $k^3-4k^2$ de $k^3-8k^2+17k-4$ para obtener un nuevo residuo:

$(k^3-8k^2+17k-4) - (k^3-4k^2)$

$= k^3-8k^2+17k-4-(k^3-4k^2)$

$=k^3-8k^2+17k-4-k^3+4k^2$

$=-4k^2+17k-4$

Residuo $=-4k^2+17k-4$

Por lo tanto:

$\frac{k^3-8k^2+17k-4}{k-4} =k^2+\frac{-4k^2+17k-4}{k-4}$

----------

Dividir $\frac{-4k^2+17k-4}{k-4}$:

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado de numerador $-4k^2+17k-4$ y el divisor $k-4$:

$\frac{-4k^2}{k} = -4k$

Cociente = $-4k$

--

Multiplicar $k-4$ por $-4k$:

$(k-4)(-4k)=-4k^2+16k$

Substraer $-4k^2+16k$ de $-4k^2+17k-4$ para obtener un nuevo residuo:

$(-4k^2+17k-4)-(-4k^2+16k)$

$=-4k^2+17k-4-(-4k^2+16k)$

$=-4k^2+17k-4+4k^2-16k$

$=k-4$

Residuo $=k-4$

Por lo tanto:

$\frac{-4k^2+17k-4}{k-4}$ = $-4k+\frac{k-4}{k-4}$

$\frac{k-4}{k-4} =1$    Cualquier expresión dividida entre sí misma es igual a 1.

$\frac{-4k^2+17k-4}{k-4}$ = $-4k+1$

---

$\frac{k^3-8k^2+17k-4}{k-4} =k^2-4k+1$

$k^3-8k^2+17k-4 = (k-4)(k^2-4k+1)$

El resultado de la factorización es:

$(k-4)(k^2-4k+1)$