Una persona tiene una lámina de hierro cuadrada de 21 cm por lado , también requiere una caja sin tapa como en el ejemplo anterior en este caso la base de la caja será cuadrada se cortará cuadrados congruentes en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para formar la caja ¿ cómo debe hacerse esto para obtener una caja del máximo volumen posible ?
Respuestas
El volumen máximo posible de la caja es de 523,6cm³
Explicación paso a paso:
Optimización:
Datos:
a : es el ancho de la caja
h: es su altura
p : es su profundidad
a=h=p Ya que la caja será cuadrada
Al cortar los cuadrados de lados L de cada extremo del cuadrado:
a: ancho de la caja
a = 21-2L
Su volumen es:
V = a³
Cubo de una diferencia:
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
V(L) = (21-2L)³
V(L) =(9261-2646L+126L² -8L³)
Derivamos la función volumen:
V`(L) = -2646+252L -24L²
V´(L) =0
-24L²+252L-2646=0
Resolvemos la ecuación de segundo grado obteniendo los siguientes valores para L:
L₁ =-17,05
L₂ =6,47 Tomamos el valor positivo
El Volumen :
V = (21-2*6,47)³
V = 523,6cm³
Al cortar los cuadrados de las esquinas de la lámina de hierro se obtiene una caja de base cuadrada de 14 cm de lado y altura 7/2 cm, con un volumen máximo de 686 cm³.
¿Cómo se calcula el volumen de una caja?
La caja es un prisma cuadrangular, por lo que el volumen se calcula multiplicando el área de la base por la altura.
Dado que la base es un cuadrado, su área es el cuadrado de la longitud del lado.
En este caso, al eliminar un cuadrado de lado x en cada esquina y doblar estos lados hacia arriba, la caja tiene dimensiones:
- Lado: 21 - 2x cm
- Altura: x cm
Por lo tanto, el volumen es el producto de:
V = (21 - 2x)² x ⇒ V = 4x³ - 84x² + 441x cm³
¿Cómo se halla el volumen máximo?
La función objetivo es el volumen de la caja.
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de V.
V’ = 12x² - 168x + 441
V' = 0 ⇒ 12x² - 168x + 441 = 0 ⇒
4x² - 56x + 147 = 0 ⇒ (2x - 21) (2x - 7) = 0 ⇒
x = 21 / 2 o x = 7 / 2
son los puntos críticos de interés o posibles extremos de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si cada punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
V'' = 24x - 168
Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
V''(21/2) = 24(21/2) - 168 > 0 x = 21/2 es un mínimo de V
V''(7/2) = 24(7/2) - 168 < 0 x = 7/2 es un máximo de V
Lado = 21 - 2(7/2) = 14 cm
Altura = 7/2 cm
V(7/2) = (7/2) [21 - 2(7/2)]² = 686 cm³
Al cortar los cuadrados de las esquinas de la lámina de hierro se obtiene una caja de base cuadrada de 14 cm de lado y altura 7/2 cm, con un volumen máximo de 686 cm³.
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