Cristina tiene ocho monedas cuyos pesos en gramos son enteros positivos diferentes. Cuando Cristina pone dos monedas cualesquiera en un platillo de una balanza y otras dos cualesquiera en el otro platillo, el platillo que contiene a la más pesada de las cuatro monedas es siempre el más pesado. ¿Cuál es el menor peso posible de la moneda más pesada?
Respuestas
INECUACIONES
Empezaremos asignando:
"m", "n", "p" y "q" a las 4 monedas que coloquemos en la balanza, ordenadas de mayor a menor peso. Entonces, "m" será la más pesada, y "q" la menos pesada.
Ahora, como pide el menor peso de la moneda más pesada, además, que el platillo que contiene a la más pesada de las cuatro monedas es siempre el más pesado:
- Debemos colocar la moneda más pesada y la menos pesada juntas, en un platillo (es decir, "m" y "q"), y en el otro platillo colocamos las monedas "n" y "p".
- Debe cumplirse que, el peso de las monedas "m" y "q" (del primer platillo) sea mayor que "n" y "p" (del segundo platillo).
Si planteamos la inecuación, se cumple que:
m + q > n + p
Esto quiere decir que el peso de las monedas "m" y "q" debe ser mayor que el peso de las monedas "n" y "p".
Ahora, como queremos hallar el menor valor de la moneda más pesada, también asignaremos el menor valor a las demás monedas.
Se indica que los pesos son enteros positivos.
- El mínimo entero positivo es 1, así que este valor le asignamos a "q", la moneda de menor peso.
Continuamos, las siguientes monedas "p" y "n", por ende, pesarán 2 y 3 gramos.
Entonces, tenemos:
m + q > n + p
m + 1 > 3 + 2
m + 1 > 5
m > 5 - 1
m > 4
El valor de "m", la moneda más pesada de las cuatro, debe ser mayor que 4. El mínimo valor entero que cumple la inecuación es 5. Por lo tanto, tenemos que las primeras cuatro monedas pesan: 1, 2, 3 y 5 gramos.
Continuamos y hallamos el peso de las siguientes monedas.
Figuremos que las siguientes monedas que tomamos para colocar en la balanza con las monedas de peso 2, 3 y 5 gramos. Colocamos la moneda más pesada con la menos pesada. Hallamos el peso de la moneda más pesada:
m + 2 > 3 + 5
m + 2 > 8
m > 8 - 2
m > 6
El mínimo valor que da respuesta a esta nueva inecuación es 7.
Las cinco primeras monedas son las de pesos 1, 2, 3, 5 y 7 gramos.
Realizamos el mismo proceso. Hallamos la sexta moneda, tomamos las monedas de pesos 3, 5 y 7 gramos. Recordemos que la de menor peso va junto la de mayor peso:
m + 3 > 5 + 7
m + 3 > 12
m > 12 - 3
m > 9
El mínimo valor que cumple esta nueva inecuación es 10. Ya tenemos las seis primeras monedas, cuyos pesos son: 1, 2, 3, 5, 7 y 10 gramos.
Tomamos las monedas de 5, 7 y 10 gramos. Hallamos la séptima moneda:
m + 5 > 7 + 10
m + 5 > 17
m > 17 - 5
m > 12
El mínimo valor que satisface esta inecuación es 13. Las siete primeras monedas, cuyos pesos son: 1, 2, 3, 5, 7, 10 y 13 gramos.
Finalmente, tomamos las monedas de 7, 10 y 13 gramos. Hallamos la octava y última moneda:
m + 7 > 10 + 13
m + 7 > 23
m > 23 - 7
m > 16
El mínimo valor que satisface esta inecuación es 17. Así que:
Las ocho monedas, de menor a mayor, pesan: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13 y 17 gramos.
Pide hallar el menor peso de la moneda más pesada. Entonces:
Respuesta. El menor peso posible de la moneda más pesada es 17 gramos.
