Cristina tiene ocho monedas cuyos pesos en gramos son enteros positivos diferentes. Cuando Cristina pone dos monedas cualesquiera en un platillo de una balanza y otras dos cualesquiera en el otro platillo, el platillo que contiene a la más pesada de las cuatro monedas es siempre el más pesado. ¿Cuál es el menor peso posible de la moneda más pesada?
Respuestas
La secuencia de pesos de las 8 monedas de Cristina 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 17 gramos, es la de menores valores posibles que garantiza que siempre se cumple la condición dada sin importar cuales son las 4 monedas seleccionadas.
Explicación paso a paso:
Supongamos que las 4 monedas en la balanza se denominan A, B, C, D en orden de mayor a menor, siendo A la mayor de todas.
Para que el plato de la balanza donde está A siempre sea el más pesado, tiene que ocurrir que en el estén la de mayor peso y la de menor peso y en el otro plato se encuentren las otras dos monedas; es decir, debe darse la siguiente inecuación:
A + D > B + C ⇒ A > B + C - D
Esto significa que el peso de A debe ser mayor al peso de B y C sumadas menos el peso de D; es decir, la moneda de mayor peso debe ser mayor que la suma de la segunda y tercera monedas de mayor peso menos la de menor peso.
Para establecer cual es el menor peso posible de la moneda de mayor peso, vamos a asignar los menores valores posibles en los números enteros:
Tenemos 4 monedas, por lo tanto el menor peso posible de cualquier moneda sería un gramo, que sería el número entero más pequeño posible.
Luego vamos subiendo, la segunda moneda pesa 2 g, la tercera 3 g, la cuarta debe pesar más que la suma de las dos previas menos la de menor peso:
Moneda de mayor peso > 2 + 3 - 1
Moneda de mayor peso > 4
El entero inmediato mayor que 4 sería el 5. Las primeras 4 monedas serían de pesos 1, 2, 3 y 5 gramos.
Ahora supongamos que se toman la segunda, la tercera, la cuarta y la quinta moneda, entonces los pesos serán, respectivamente, 2, 3, 5 y calculamos la de mayor peso:
Moneda de mayor peso > 3 + 5 - 2
Moneda de mayor peso > 6
El entero inmediato mayor que 6 sería el 7. Las primeras 5 monedas serían de pesos 1, 2, 3, 5 y 7 gramos.
Para conocer la sexta, séptima y octava monedas, seguimos la misma secuencia:
Sexta moneda > 5 + 7 - 3
Sexta moneda > 9
El entero inmediato mayor que 9 sería el 10. Las primeras 6 monedas serían de pesos 1, 2, 3, 5, 7 y 10 gramos.
Séptima moneda > 7 + 10 - 5
Séptima moneda > 12
El entero inmediato mayor que 12 sería el 13. Las primeras 7 monedas serían de pesos 1, 2, 3, 5, 7, 10 y 13 gramos.
Octava moneda > 10 + 13 - 7
Octava moneda > 16
El entero inmediato mayor que 16 sería el 17. Las 8 monedas serían de pesos 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13 y 17 gramos.
La moneda de mayor peso de las cuatro monedas debe pesar más que la suma de la segunda y tercera de mayor peso menos el peso de la moneda de menor peso, para que se cumpla el plato de la balanza donde ella se encuentre sea el más pesado siempre.
La secuencia de pesos de las 8 monedas de Cristina 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 17 gramos, es la de menores valores posibles que garantiza que siempre se cumple la condición dada sin importar cuales son las 4 monedas seleccionadas.