Se lanza una piedra desde el punto (5,20)m, con una velocidad de (5i ⃗+15j ⃗ )m/s. La altura de una piedra arrojada desde un puente, h metros sobre el agua, se modeliza mediante la función
h(t) = 15t + 20 – 4.9t2,
donde t es el tiempo en segundos tras el lanzamiento de la piedra.
¿Cuál es la altura inicial desde donde se arrojó la piedra?
¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la piedra?
¿Durante cuánto tiempo la altura de la piedra es mayor a 20m?
Calcular la velocidad y posición cuando ha transcurrido 1s.
El tiempo de vuelo.
El alcance horizontal.
La velocidad de la pelota en 1s
Respuestas
Es un movimiento compuesto.
La posición horizontal de la piedra es:
x = 5 m + 5 m/s t
La posición vertical es:
h = 20 m + 15 m/s t - 4,9 m/s² t²
La altura inicial corresponde con t = 0:
h = 20 m
La velocidad vertical en función del tiempo es la derivada de la posición vertical:
Vy = 15 m/s - 9,8 m/s² t
La máxima altura corresponde para Vy = 0
t = 15 m/s / 9,8 m/s² ≅ 1,53 s
h = 20 m + 15 m/s . 1,53 s - 4,9 m/s² (1,53 s)²
h ≅ 31,5 m
Resolvemos el tiempo para h = 20 m
20 m = 20 m + 15 m/s t - 4,9 t²
Hay dos respuestas:
t = 0
t = 15 m/s / 4,9 m/s² = 3,06 s
Está a mayor altura de 20 m en el intervalo abierto (0; 3,06) s
Para t = 1 s
x = 5 m + 5 m/s . 1 s = 10 m
h = 20 m + 15 m/s . 1 s - 4,9 m/s² (1 s)² = 30,1 m
Velocidades:
Vx = 5 m/s = constante.
Vy = 15 m/s - 9,8 m/s² . 1 s = 5,2 m/s
El tiempo de vuelo corresponde para h = 0
Reordenamos la ecuación:
4,9 m/s² t² - 15 m/s t - 20 m = 0
Ecuación de segundo grado en t, que resuelvo directamente
Resulta:
t = 4,065 s
La otra solución es negativa, fuera de dominio.
El alcance horizontal corresponde con el tiempo de vuelo
x = 5 m + 5 m/s . 4,065 s = 25,325 m
La velocidad de la pelota en 1 s:
V = √(5² + 5,2²) ≅ 7,21 m/s
Saludos