Question

Dos automóviles, A y B, viajan en línea recta. La
distancia dé A con respecto al punto de partida está
dada, en función del tiempo por: ,
con y . La distancia entre B y el
punto de partida es , con y
.
xA(t) = αt + βt
2
α = 2.6 β = 1.2
xB(t) = γt
2 − δt
3 γ = 2.8
δ = 0.2
A. ¿Qué dimensiones debe tener para
que y sean ecuaciones
dimensionalmente correctas?
B. ¿Cuál auto se adelanta justo después de
salir del punto de partida?
C. ¿En qué instante(s) los dos autos están en
el mismo punto?
α, γ, β, δ
xA(t) xB(t)

Answer 1

xA(t) = a*t + b*t^2 ⇒ a = 2,6 m/s ; b = 1,2 m/s^2

xB(t) = g*t^2 - d*t^3 ⇒ g = 2,8 m/s^2 ; d = 0,2 m/s^3

a) Calculemos la velocidad para el instante en que salen los automóviles. Justo después del instante t = 0 s la carrera empieza

v(t) = dx(t) / dt ⇒ Derivada de la posición con respecto al tiempo resulta en la velocidad instantánea

vA(t) = d ( a*t + b*t^2 ) / dt  

vA(t) = a + 2*b*t

vA(t) = (2,6 m/s) + 2*(1,2 m/s)(t)

vA(0) = 2,6 m/s

vB(t) = d ( g*t^2 - d*t^3 ) / dt

vB(t) = 2g*t - 3d*t^2

vB(0) = 0 m/s

El auto A se adelanta con respecto al auto B justamente al empezar la carrera

b) Instante en que los dos automóviles están en el mismo punto

xA(t) = xB(t)  

(2,6)t + (1,2)*t^2 = (2,8)*(t)^2 - (0,2)*t^3

(0,2)*t^3 - (2,8)*t^2 + (1,2)*t^2 + (2,6)t = 0  

(0,2)*t^3 - 1,6*t^2 + 2,6t = 0 ⇒ Por ser una ecuación de 3er grado, existirán tres instantes de tiempo donde los dos automóviles se encontrarán

t1 = 5,73 s ; t2 = 0 s ; t3 = 2,27 s  

c) Instante en que las distancias entre A y B no aumenta ni disminuye

Para t = 5,73 s y 2,27 s las distancias no variarán

d) Instantes en que A y B tienen la misma aceleración:

a(t) = d^2(t) / dt^2

aA(t) = d^2 (  a*t + b*t^2 ) / dt^2

aA(t) = 2*b = 2*(1,2) = 2,4 m/s^2

aB(t) = 2*g - 2*3*d*t

aB(t) = 2*(2,8) - 6*(0,2)*t

aB(t) = 5,6 - 1,2*t

aA(t) = aB(t)

2,4 = 5,6 - 1,2*t

1,2*t = 5,6 - 2,4

t = 2,67 s ⇒ Instante en que las dos aceleraciones son iguales