Question

La trayectoria de un Dron 1, está dada por la ecuación
vectorial L:(x;y; z) = (-2; 8; 5) + t (-2; 6; 12).
Otro Dron 2 vuela al lado suyo con una ecuación dada
y+5
por: L:
-1
Indique si en su recorrido los Drones se llegan a
cruzar o cortar, en caso contrario indique la distancia
de separación entre los Drones.​

Answer 1

Los drones no se cruzan y la distancia entre sus trayectorias es $\sqrt{\frac{571}{23}}$

Explicación paso a paso:

La ecuación del dron 1 es $(x,y,z)=(-2,8-5)+t(-2,6,12)$ que es una recta con vector director (-2,6,12). Y la ecuación del dron 2 es:

$\frac{x-4}{-1}=\frac{y+5}{3}=\frac{z}{6}$

Que es una recta con vector director (-1,3,6), y que pasa por el punto (4,-5,0).

Como los dos vectores directores son linealmente dependientes, las trayectorias son rectas paralelas. Entonces los drones no se cruzan.

La distancia de separación entre los drones es la distancia entre las rectas: que es la longitud del segmento normal a ambas que une a las dos rectas.

Segun la imagen adjunta, esta distancia es la longitud del segmento (línea verde) que une a los puntos por el seno del ángulo que forma dicho segmento con la recta que podemos hallar mediante el producto escalar. Queda:

$v_1=(-1,3,6)\\v_2=(-1-(-2),3-8,6-5)=(1,-5,1)\\\\cos(\theta)=\frac{v_1.v_2}{||v_1||.||v_2||}=\frac{-1.1+3(-5)+6.1}{||\sqrt{(-1)^2+3^2+6^2}||.||\sqrt{1^2+(-5)^2+1^2}||}=\frac{-10}{\sqrt{46}\sqrt{27}}\\\\cos(\theta)=\frac{-10}{\sqrt{1242}}$

El seno del ángulo es:

$sen(\alpha)=\sqrt{1-cos^2(\alpha)}=\sqrt{1-(\frac{-10}{\sqrt{1242}})^2}=\sqrt{\frac{1142}{1242}}$

Y entonces la distancia entre los drones es:

$d=||v_2||.sen(\theta)=\sqrt{1^2+(-5)^2+1^2}\sqrt{\frac{1142}{1242}}\\\\d=\sqrt{27}\sqrt{\frac{571}{621}}=3\sqrt{3}\frac{\sqrt{571}}{3\sqrt{3}\sqrt{23}}\\\\d=\sqrt{\frac{571}{23}}$