Question

Una prensa hidráulica cuenta con dos émbolos, el de menor área
tiene un radio de 5cm, si sobre este embolo se realiza una fuerza
de 8N y esta logra levantar un auto de 5000N ubicado en el
émbolo de mayor área, calcule el radio de este.

Answer 1

El radio del émbolo mayor es de aproximadamente 125 centímetros

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor

Para que se cumpla la relación

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Solución

Por enunciado sabemos que la fuerza aplicada sobre el émbolo menor es de 8 N

Luego

$\large\boxed{ \bold{ F_{A} = 8 \ N }}$

Determinamos la superficie o área del émbolo menor

Embolo Menor

El émbolo menor tiene un radio de 5 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r^{2} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ r^{2} }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ (5 \ cm) ^{2} }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ 25\ cm^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = 78.54 \ cm^{2} }}$

La superficie o área del émbolo menor es de aproximadamente 78.54 centímetros cuadrados

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\large\boxed{ \bold{ S_{B} = \frac{ F_{B} \ . \ S_{A} }{ F_{B} } }}$

Hallaremos la superficie o área del émbolo mayor

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ 8 \ N }{ 78.54 \ cm^{2} } = \frac{ 5000\ N }{ S_{B} } }}$

$\boxed{ \bold{ S_{B} = \frac{ 5000 \ \not N \ \ . \ 78.54 \ cm^{2} }{8 \ \not N } }}$

$\large\boxed{ \bold{ S_{B} = 49087.50 \ cm^{2} }}$

La superficie o área del émbolo mayor es de aproximadamente 49087.50 centímetros cuadrados

Determinamos el radio del émbolo mayor a partir de su área

Empleando la fórmula para calcular el área de un círculo, donde despejaremos el radio

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ r^{2} }}$

$\boxed{ \bold{r = \sqrt{ \frac{S_{B} }{\pi } } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{r = \sqrt{ \frac{ 49087.50 \ cm^{2} }{\pi } } }}$

$\boxed{ \bold{r = \sqrt{ 15625.03653804 \ cm^{2}} }}$

$\boxed{ \bold{r \approx 125.0014 \ cm }}$

$\large\boxed{ \bold{r \approx 125 \ cm }}$

El radio del émbolo mayor es de aproximadamente 125 centímetros