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Respuesta:
Notemos, primero, que el dominio de f(x) es
\displaystyle D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}
ya que tenemos una indeterminación en 0.
Para encontrar los intervalos de crecimiento, debemos encontrar esos intervalos donde la derivada es positiva. De manera similar, para encontrar los intervalos de decrecimiento, necesitamos encontrar los intervalos en donde la derivada es negativa. Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es derivar la función:
\displaystyle f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}
Ahora, para encontrar los intervalos donde f'(x) es positiva o negativa, debemos encontrar los ceros de f'(x) primero:
\displaystyle 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad 1 = \frac{4}{x^2}
Por lo tanto, x^2 = 4, de donde se sigue que x = -2 y x = 2. Además, observemos que debemos tomar en cuenta el valor de x = 0 ya que f'(x) tiene una indeterminación ahí.
La lógica que seguimos aquí es que f'(x) cambia de signo alrededor de sus raíces o puntos de indeterminación.
Observemos que si x < - 2 (es decir, x \in (-\infty, -2)), entonces f'(x) > 0. Para notarlo evaluamos, por ejemplo, en x = -3 con lo que obtenemos f(3) = 5/9.
Similarmente, si x \in (-2, 0), entonces f'(x) < 0.
Si x \in (0, 2), entonces f'(x) < 0.
Por último, si x \in (2, \infty), entonces tenemos que f'(x) > 0.
De este modo, los intervalos donde f(x) es creciente son
\displaystyle (-\infty, -2) \cup (2, \infty)
mientras que los intervalos donde f(x) es decreciente son
\displaystyle (-2, 0) \cup (0, 2)
Explicación paso a paso: