Question

Un automóvil recorre 100 km al oeste y después 20 km hacia el suroeste. ¿Cuál es el desplazamiento del automóvil desde el punto de partida, en magnitud y dirección? Dibuje un diagrama.

Answer 1

El desplazamiento del automóvil es de 115.01 kilómetros

La dirección es de 7.06° con respecto al Oeste

Solución

Al hacer referencia a los puntos cardinales, ubicaremos a estos puntos en el plano.  

Representando el problema en el plano cartesiano.

Siendo en el plano cartesiano el eje X representa la dirección este –oeste, y el eje Y representa la dirección norte – sur

Donde tomamos donde el automóvil empezó a desplazarse desde el centro de origen (0,0) en la intersección de los ejes de X e Y

Luego al estar dividido el plano cartesiano en cuatro cuadrantes, se toma  el semieje negativo del eje X como la dirección Oeste y el semieje negativo del eje Y como la dirección Sur

Determinamos las coordenadas de los puntos  

Punto A

El automóvil se desplaza 100 kilómetros en dirección Oeste con un ángulo de dirección de 180° con respecto al origen de coordenadas

Donde prescindimos de las unidades para hallar los pares ordenados, sabiendo que representan kilómetros

Teniendo:

$\large\boxed{\bold { A (x_{1} , y_{1} ) }}$

$\boxed{\bold { x_{1 } = 100 \ . \ cos(180^o) }}$

$\boxed{\bold { x_{1 } = 100 \ . \ -1 }}$

$\large\boxed{\bold { x_{1 } = -100 }}$

$\boxed{\bold { y_{1 } = 100 \ . \ sen(180^o) }}$

$\boxed{\bold { y_{1 } = 100 \ . \ 0 }}$

$\large\boxed{\bold { y_{1 } = 0 }}$

Luego

$\large\boxed{\bold { A (x_{1} , y_{1} ) = (-100 , 0) }}$

El automóvil en su primer trayecto avanza hasta el punto A(-100,0) desde el origen de coordenadas

Punto B

Una vez alcanzado el punto A (-100,0) el automóvil se desplaza 20 kilómetros al Suroeste. O lo que es lo mismo 225° con respecto al Este

Teniendo:

$\large\boxed{\bold { B (x_{2} , y_{2} ) }}$

$\boxed{\bold { x_{2 } = x_{1} + x_{2} \ . \ cos(225^o) }}$

$\boxed{\bold { x_{2 } = -100 + 20 \ . \ cos(225^o) }}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 225 grados es }\bold { - \frac{ \sqrt{2} }{2} }$

El coseno es negativo en el tercer cuadrante

$\boxed{\bold { x_{2 } = -100 + 20 \ . \ - \frac{\sqrt{2} }{2} }}$

$\boxed{\bold { x_{2 } = -100 \ + \not 2 \ . \ 10 \ . \ - \frac{\sqrt{2} }{\not 2} }}$

$\boxed{\bold { x_{2 } = -100 + \ 10 \ . - \sqrt{2} }}$

$\boxed{\bold { x_{2 } = -100 - \ 10\sqrt{2} }}$

$\large\boxed{\bold { x_{2 } = -114.14 }}$

$\boxed{\bold { y_{2 } = y_{1} + y_{2} \ . \ sen(225)^o) }}$

$\boxed{\bold { y_{2 } = 0 + 20 \ . \ sen(225^o) }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 225 grados es }\bold { - \frac{ \sqrt{2} }{2} }$

El seno es negativo en el tercer cuadrante

$\boxed{\bold { y_{2 } = 0 + 20 \ . \ - \frac{\sqrt{2} }{2} }}$

$\boxed{\bold { y_{2 } = \not 2 \ . \ 10 \ . \ - \frac{\sqrt{2} }{\not 2} }}$

$\boxed{\bold { y_{2 } = \ 10 \ . - \sqrt{2} }}$

$\boxed{\bold { y_{2 } =- \ 10\sqrt{2} }}$

$\large\boxed{\bold { y_{2 } = -14.14 }}$

Luego

$\large\boxed{\bold { B (x_{2} , y_{2} ) = (-114.14 , -14.14) }}$

El automóvil al recorrer 200 kilómetros en dirección Suroeste desde el punto A (-100,0) avanza hasta el punto B (-114.4, -14.14) donde culmina su trayectoria

Hallamos el Desplazamiento Resultante

El desplazamiento está dado por la distancia recorrida desde el punto inicial hasta el punto final de la trayectoria

$\large\textsf{ Donde el punto inicial est\'a dado por el origen de coordenadas:}$

$\boxed{\bold { O \ (0,0) }}$

$\large\textsf{ Y donde el punto donde termina el trayecto est\'a dado por } \\\large\textsf{ el par ordenado:}$

$\boxed{\bold { B\ (-114.14 \ , -14.14) }}$

Empleamos la fórmula de la distancia entre puntos para determinar el desplazamiento

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{R}|| = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{R}|| = \sqrt{(-114.14 - 0 )^{2} +(-14.14 -0 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {||\overrightarrow{R}|| = \sqrt{(-114.14) ^{2} +(-14.14) ^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {||\overrightarrow{R}|| = \sqrt{ 13027.9396 + 199.9396 } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{R}|| = \sqrt{13227.8792 } } }$

$\large\boxed{ \bold {||\overrightarrow{R}|| \approx 115.01 \ km } }$

El desplazamiento del automóvil es de 115.01 km

Hallamos la dirección

Recurrimos a las razones trigonométricas usuales

Dado que conocemos el punto final de la trayectoria tomaremos la razón trigonométrica tangente con los valores del punto B final

$\boxed{\bold { tan (\beta)= \frac{cateto \ opuesto }{cateto \ adyacente }}}$

$\boxed{\bold { tan (\beta)= \frac{y_{2} }{x_{2} }}}$

$\boxed{\bold { tan (\beta)= \frac{-14.14 \not km }{ -114.14 \not km }}}$

Aplicamos tangente inversa

$\boxed{\bold { \beta= arctan\left( \frac{-14.14 }{ -114.14 } \right) }}$

$\boxed{\bold { \beta= arctan\ ( 0.12388295 ) }}$

$\large\boxed{\bold { \beta= 7.06^o }}$

La dirección es de 7.06° con respecto al Oeste