Question

una función H cuyo dominio son los números naturales, verifica la propiedad h(n) = h(n+1)/2, para todo n pertenece al dominio 2 de h, si h(1)=3, entonces h(20)

ayudaa, es urgente

Answer 1

Realizaremos los siguientes cálculos para resolver este problema

     ► Cuando n = 1               ► Cuando n = 2            ► Cuando n = 3

        $\center \mathsf{h(n) = \dfrac{\mathsf{h(n+1)}}{\mathsf{2}}}\\\\\center \mathsf{h(1) = \dfrac{\mathsf{h(1+1)}}{\mathsf{2}}}\\\\\center \mathsf{3 = \dfrac{\mathsf{h(2)}}{\mathsf{2}}}\\\\\center \boxed{\boldsymbol{\mathsf{h(2) =6}}}$               $\center \mathsf{h(n) = \dfrac{\mathsf{h(n+1)}}{\mathsf{2}}}\\\\\center \mathsf{h(2) = \dfrac{\mathsf{h(2+1)}}{\mathsf{2}}}\\\\\center \mathsf{6 = \dfrac{\mathsf{h(3)}}{\mathsf{2}}}\\\\\center \boxed{\boldsymbol{\mathsf{h(3) =12}}}$             $\center \mathsf{h(n) = \dfrac{\mathsf{h(n+1)}}{\mathsf{2}}}\\\\\center \mathsf{h(3) = \dfrac{\mathsf{h(3+1)}}{\mathsf{2}}}\\\\\center \mathsf{12 = \dfrac{\mathsf{h(4)}}{\mathsf{2}}}\\\\\center \boxed{\boldsymbol{\mathsf{h(4) =24}}}$    

Podríamos seguir así hasta llegar a h(20) pero nosotros lo resolveremos por el método de inducción, entonces tenemos que:

                n = 1           n= 2           n = 3           n = 4            ...                n

                 h(1)            h(2)              h(3)             h(4)            ...              h(n)

                 3                6                 12                24             ...              

Vemos que el resultado podemos expresarlo en forma de "n" de la siguiente manera

              $\mathsf{3\cdot 2^{\boldsymbol{1}-1}}}$        $\mathsf{3\cdot 2^{\boldsymbol{2}-1}}}$        $\mathsf{3\cdot 2^{\boldsymbol{3}-1}}}$          $\mathsf{3\cdot 2^{\boldsymbol{4}-1}}}$                     $\mathsf{3\cdot 2^{\boldsymbol{n}-1}}}$

Tendremos que:

                                                  $\boxed{\boldsymbol{\mahtsf{h(n) = \mathsf{3\cdot 2^{\boldsymbol{n}-1}}}}}}}$

Nos piden h(20), es decir cuando n = 20

                                                  $\mathsf{\:\:\:h(20) = 2\cdot3^{20-1}}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{h(20) = 2\cdot3^{19}}}}}$

                                                                                                            〆ʀᴏɢʜᴇʀ ✌