Question

resuelve por el método de cramer los siguientes ejercicios​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

               Regla de Cramer

Es uno de los varios métodos existentes para resolver un sistema de ecuaciones, veamos en que consiste:

"Sea   AX=Y un sistema de ecuaciones, donde A es la matriz de coeficientes del sistema. Este sistema tendrá una única solución (x₁,...,xₙ) dada de la siguiente forma:"

$x_{j} = \frac{Det(A_{j}) }{Det(A)}$    

j= 1,...,n

Donde:

Aj: es la matriz que se obtiene de A reemplazando la columna "j" de A por Y

Esto es para un caso mas general, es decir para un sistema de "n" incógnitas, pero veamos para el caso de solo 2, ahí se entenderá mejor y podremos entender la regla de Cramer

Supongamos que tenemos el sistema:

ax + by= j

cx +dy= e

Podemos representar este sistema como matriz, nos queda:

$\left[\begin{array}{ccc}a&&b\\&&\\c&&d\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}&x&\\&&\\&y&\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}&e&\\&&\\&f&\end{array}\right]$

Si el sistema tiene una única solución, entonces la solución esta dada por:

$x= \frac{Det\left[\begin{array}{ccc}e&&b\\&&\\f&&d\end{array}\right] }{Det\left[\begin{array}{ccc}a&&b\\&&\\c&&d\end{array}\right] }$

$y= \frac{Det\left[\begin{array}{ccc}a&&e\\&&\\c&&f\end{array}\right] }{Det\left[\begin{array}{ccc}a&&b\\&&\\c&&d\end{array}\right] }$

Recordemos que el determinante de una matriz 2x2, denotado por Det(A) esta dado por:

$Det\left[\begin{array}{ccc}a&&b\\&&\\c&&d\end{array}\right] = ad-cb$

Ahora si, vamos al ejercicio

x + y = 1

2x +y= 0

Escrita en forma de matriz es:

$\left[\begin{array}{ccc}1&&1\\&&\\2&&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}&x&\\&&\\&y&\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}&1&\\&&\\&0&\end{array}\right]$

Calculemos primero el determinante de "A"

$Det(A)= 1*1 -(2*1)$

$Det(A)= 1-2$

$Det(A)= -1$  

Ahora, la matriz A₁ sabemos que esta dada por:

$A_{1} = \left[\begin{array}{ccc}e&&b\\&&\\f&&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&&1\\&&\\0&&1\end{array}\right]$

Su determinante es:

$Det(A_{1})= 1*1-(0*1)$

$Det(A_{1})= 1$

La matriz A₂ es:

$A_{2} = \left[\begin{array}{ccc}a&&e\\&&\\c&&f\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&&1\\&&\\2&&0\end{array}\right]$

Su determinante es:

$Det(A_{2})= 1*0 -(2*1)$

$Det(A_{2})= -2$  

Por lo tanto, reemplazando:

$x= \frac{1}{-1}$

$x= -1$

$y= \frac{-2}{-1}$

$y= 2$

Respuesta: La solución es:  (-1 ; 2)

Saludoss