Question

Ayuda por favor con otros ejercicios de calculo diferencial. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.

Determine la derivada de las siguientes funciones: (Visualizar y Ampliar Imagen)

Answer 1

Las siguientes derivadas son variantes de la derivada del logarítmo natural 

$f(x)=ln(u) \\ f'(x)= \frac{1}{u} (u')= \frac{u'}{u}$

$a)f(x)=ln(3x-4) \\ f'(x)= \frac{(3x-4)'}{3x-4} \\ f'(x)= \frac{3}{3x-4}$

Para el siguiente ejercicio vamos a valernos de las propiedades de los logaritmos 

$ln( \frac{a}{b} )=ln(a)-ln(b)$

Entonces tenemos

$b)f(x)=ln( \frac{1+u}{1-u} ) \\ f(x)=ln(1+u)-ln(1-u) \\ f'(x)= \frac{(1+u)'}{1+u}- \frac{(1-u)'}{1-u} \\ f'(u)= \frac{1}{1+u} - \frac{-1}{1-u} \\ f'(u)= \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u} \\ f'(u)= \frac{(1-u)+(1+u)}{(1+u)(1-u)} = \frac{2}{ 1-u^{2} } \\ \\ c)f(t)=( t^{2}+1 )ln(2t+1) \\ f'(t)=( t^{2}+1 )'(ln(2t+1))+(ln(2t+1))'( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=(2t)(ln(2t+1))+ \frac{(2t+1)'}{2t+1} ( t^{2}+1 ) \\ f'(t)= (2t)ln(2t+1)+ \frac{2( t^{2}+1 )}{2t+1}$

Para el siguiente ejercicio vamos a volver a usar las propiedades de los logaritmos 

$ln( x^{n} )=(n)ln(x)$

Entonces tenemos 

$d)f(w)=ln( \sqrt{1+ w^{2} } ) \\ f(w)=ln( (1+ w^{2} )^{ \frac{1}{2} } ) \\ f(w)= \frac{1}{2} ln(1+ w^{2} ) \\ f'(w)= \frac{1}{2} ( \frac{( 1+w^{2} )'}{1+ w^{2} } ) \\ f'(w)= \frac{2w}{2(1+ w^{2} )} = \frac{w}{1+ w^{2} }$

para el siguiente ejercicio tenemos que usar la derivada del logaritmo no natural con su variante

$f(x)=log _{a} (u) \\ f'(x)= \frac{u'}{u} ( \frac{1}{ln(a)} )$

Entonces tenemos

$e)f(x)=log( x^{3}+2 ) \\ f'(x)= \frac{( x^{3}+2 )'}{ x^{3}+2 } ( \frac{1}{ln(10)} ) \\ f'(x)= \frac{3 x^{2} }{ (x^{3}+2)ln(10) }$

$f)f(x)=log _{2} ( x^{4}-x ) \\ f'(x)= \frac{( x^{4}-x )'}{ x^{4}-x } ( \frac{1}{ln(2)} ) \\ f'(x)= \frac{4 x^{3}-1 }{( x^{4}-x )ln(2)}$

Y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas