Question

Ayuda por favor con otros ejercicios de calculo diferencial. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.

Determine la derivada de las siguientes funciones: (Visualizar y Ampliar Imagen)

Answer 1

Para éstos ejercicio tenemos que hacer uso de la regla de la cadena que dice así

Supongamos dos funciones f(x) y g(x), si hacemos la composición de éstas dos funciones es decir:

$(f _{o} g)(x)=f(g(x))$
Si queremos derivar ésta composición sería así

$F(x)=f(g(x)) \\ F'(x)=f(g(x))'(g(x))'$

Tenemos que derivar primero la función "más superficial"...luego derivamos lo que está dentro...veamos...

$a)f(x)=( x^{2} +x)^{6} \\ f'(x)=(6)( x^{2} +x) ^{6-1} ( x^{2} +x)' \\ f'(x)=6( x^{2} +x) ^{5} (2x+1)$

Primero derivamos la función más superficial sin mover nada del interior...y luego multiplicamos por la derivada de lo que está dentro...

$b)f(x)=(2 x^{3} +1) ^{-5} \\ f'(x)=(-5)(2 x^{3}+1 ) ^{-5-1} ( 2x^{3}+1 )' \\ f'(x)=-5(2 x^{3}+1 ) ^{-6} (6 x^{2} ) \\ \\ c)f(x)=(2x+3) ^{ \frac{3}{2} } \\ f'(x)=( \frac{3}{2} )(2x+3) ^{ \frac{3}{2}-1 } (2x+3)' \\ f'(x)= \frac{3(2x+3) ^{ \frac{1}{2} } }{2} (2) \\ f'(x)=3 \sqrt{2x+3}$

Para el siguiente ejercicio podemos resolverlo usando la derivada de la raíz...o usando el artificio de los exponentes...y haciendo uso de la regla de cadena

Usando la derivación de la raíz..
$d)f(x)= \sqrt{ x^{3}+1 } \\ f'(x)= \frac{( x^{3}+1 )'}{2( \sqrt{ (x^{3}+1) ^{2-1} } )} \\ f'(x)= \frac{3 x^{2} }{2 \sqrt{ x^{3}+1 } }$

usando las propiedades de los exponentes 
$f(x)= \sqrt{ x^{3}+1 } \\ f(x)=( x^{3}+1 ) ^{ \frac{1}{2} } \\ f'(x)=( \frac{1}{2} )( x^{3}+1 ) ^{ \frac{1}{2}-1 } ( x^{3}+1 )' \\ f'(x)= \frac{1}{2} ( x^{3} +1) ^{- \frac{1}{2} } (3 x^{2} ) \\ f'(x)= \frac{3 x^{2} }{2( ( x^{3}+1 )^{ \frac{1}{2} } )} = \frac{3 x^{2} }{2 \sqrt{( x^{3} +1)} }$

Y como te das cuenta llegamos a los mismo...

$e)f(t)= \sqrt{ \frac{ t^{2}+1 }{ t^{2}-1 } } \\ f(t)=( \frac{ t^{2}+1 }{ t^{2}-1 } ) ^{ \frac{1}{2} } \\ f'(t)= \frac{1}{2} ( \frac{ t^{2}+1 }{t^{2}-1 } ) ^{ \frac{1}{2}-1 } (\frac{ t^{2}+1 }{t^{2}-1 })' \\ f'(t)= \frac{1}{2} (\frac{ t^{2}+1 }{t^{2}-1 }) ^{- \frac{1}{2} } ( \frac{( t^{2}+1 )'( t^{2}-1 )-( t^{2}-1 )'( t^{2}+1 )}{ ( t^{2}-1 )^{2} } ) \\ f'(t)= \frac{1}{2} ( \frac{t^{2}-1}{t^{2}+1} ) ^{ \frac{1}{2} } ( \frac{(2t)( t^{2}-1 )-(2t)( t^{2}+1 )}{ ( t^{2} -1)^{2} }$
$f'(t)= \frac{1}{2} ( \frac{t^{2}-1}{t^{2}+1} ) ^{ \frac{1}{2} } ( \frac{(2t)( t^{2}-1 )-(2t)( t^{2}+1 )}{ ( t^{2} -1)^{2} } \\ f'(t)= \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ t^{2}-1 }{ t^{2}+1 } } ( \frac{2 t^{3}-2t-2 t^{3} -2t }{ ( t^{2}-1 )^{2} } ) \\ f'(t)=\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ t^{2}-1 }{ t^{2}+1 } } (- \frac{4t}{ ( t^{2}-1 )^{2} } )$

Podríamos reducir un poco más, usando las propiedades de los exponentes del cociente que nos dice
$\frac{ x^{m} }{ x^{n} } = x^{m-n}$

Si te fijas tenemos dos factores iguales en el denominador y numerador..podemos distribuir la raíz para el numerador y denominador y luego aplicar ésta propiedad...para seguir reduciendo esa expresión...pero hasta ahí me parece muy conveniente..

$f)f(u)= \frac{1}{ (u+1)^{2} } \\ f'(u)= \frac{(1)'(u+1)^{2}-( (u+1)^{2} )'(1) }{ ( (u+1)^{2} )^{2} } \\ f'(u)= \frac{0( (u+1)^{2}-(2)(u+1) ^{2-1}(u+1)'(1) }{( (u+1)^{2} )^{2}} \\ f'(u)= \frac{-2(u+1)(1)}{ ( (u+1)^{2} )^{2} } \\ f'(u)= -\frac{2(u+1)}{ (u+1)^{4} } \\ f'(u)=- \frac{2}{ (u+1)^{3} }$

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas