Question

El laboratorio de cómputo de una empresa t años después de su compra varía según V(t) = Ce-0.25t. Si el laboratorio fue implementado con $ 20000. Determine la razón de cambio del valor contable del laboratorio al cabo de seis años.

Answer 1

La razón de cambio del valor contable del laboratorio al cabo de seis años es de -1115.65, aproximadamente; es decir, disminuye a una velocidad de 1115.65 $ por año.

Explicación paso a paso:

La razón de cambio del valor contable del laboratorio es la variación instantánea del valor contable en relación con un cambio unitario en el tiempo.

Esto se conoce como función derivada. La derivada permite conocer la variación puntual de la variable dependiente para un determinado valor de la variable independiente.

Antes de cualquier cálculo necesitamos saber el valor de la constante  C.  Para ello, sustituimos los valores  V  =  20000  y  t  =  0

$20000~=~C\cdot[e^{-0.25(0)}]\qquad\Rightarrow\qquad\bold{C~=~20000}$

Para hallar la función derivada tomaremos la función primitiva (la función V(t)) y aplicaremos derivación en cadena con la regla de derivación para una función exponencial:

$\dfrac{dV}{dt}~=~C\cdot(e^{-0.25t})\cdot(-0.25)\qquad\Rightarrow\qquad\bold{\dfrac{dV}{dt}~=~-0.25Ce^{-0.25t}}$

Para conocer la razón de cambio del valor contable del laboratorio al cabo de seis años, sustituimos  t  por el valor  6  en la función derivada:

$[\dfrac{dV}{dt}]_{(6)}~=~(20000)\cdot[e^{-0.25(6)}]\cdot(-0.25)\qquad\Rightarrow\qquad\bold{[\dfrac{dV}{dt}]_{(6)}~=~-1115.65}$

La razón de cambio del valor contable del laboratorio al cabo de seis años es de -1115.65, aproximadamente; es decir, disminuye a una velocidad de 1115.65 $ por año.