Question

un pentágono regular A mide 10.9 de lado 7.5 de apotema. otro pentágono regular B mide 5 de lado y es semejante al perímetro - calcula el perímetro y el área de cada uno- ¿cual es la razón entre los dos perímetros? ¿y entre las dos áreas?- ¿que conclusiones obtienes? 

Answer 1

Ya que se trata de pentágonos regulares, sus 5 lados son iguales, entonces el perímetro del pentágono A es $5(10.9)=54.5$, mientras que el del B es $5(5)=25$.

El área de un pentágono se calcula con la siguiente fórmula: $A= \frac{Pa}{2}$
donde $P$ es el perímetro y $a$ la apotema.

Por lo tanto, el área del pentágono A es igual a $A= \frac{(54.5)(7.5)}{2} \\ A= \frac{408.75}{2} \\ A= 204.375$.

Con el pentágono B tenemos un problema: no conocemos la apotema. Para calcular la apotema, sólo hace falta una pequeña regla de 3, pues son pentágonos semejantes y cumplen la siguiente condición: la razón entre los lados es la misma que la razón entre las apotemas, por lo tanto:
$\frac{5}{10.9} = \frac{apotema_B}{7.5} \\ \frac{(7.5)(5)}{10.9} = apotema_B \\ \frac{37.5}{10.9} = apotema_B \\ 3.44 = apotema_B$

Ahora que conocemos la apotema del pentágono B, podemos saber su área: 
$A= \frac{(25)(3.44)}{2} \\ A= \frac{86}{2} \\ A= 43$

Por último sólo falta encontrar la razón entre los perímetros:
$\frac{Perimetro_A}{Perimetro_B} = \frac{54.5}{25} = 2.18$

Y la razón entre las áreas:
$\frac{area_A}{area_B} = \frac{204.375}{43} = 4.75290...$

¿Conclusiones? La razón entre las áreas es igual a la razón al cuadrado de los perímetros: $2.18^2=4.75290...$