un pentágono regular A mide 10.9 de lado 7.5 de apotema. otro pentágono regular B mide 5 de lado y es semejante al perímetro - calcula el perímetro y el área de cada uno- ¿cual es la razón entre los dos perímetros? ¿y entre las dos áreas?- ¿que conclusiones obtienes?
Respuestas
Respuesta dada por:
1
Ya que se trata de pentágonos regulares, sus 5 lados son iguales, entonces el perímetro del pentágono A es
, mientras que el del B es
.
El área de un pentágono se calcula con la siguiente fórmula:![A= \frac{Pa}{2} A= \frac{Pa}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=A%3D+%5Cfrac%7BPa%7D%7B2%7D)
donde
es el perímetro y
la apotema.
Por lo tanto, el área del pentágono A es igual a
.
Con el pentágono B tenemos un problema: no conocemos la apotema. Para calcular la apotema, sólo hace falta una pequeña regla de 3, pues son pentágonos semejantes y cumplen la siguiente condición: la razón entre los lados es la misma que la razón entre las apotemas, por lo tanto:
![\frac{5}{10.9} = \frac{apotema_B}{7.5} \\
\frac{(7.5)(5)}{10.9} = apotema_B \\
\frac{37.5}{10.9} = apotema_B \\ 3.44 = apotema_B \frac{5}{10.9} = \frac{apotema_B}{7.5} \\
\frac{(7.5)(5)}{10.9} = apotema_B \\
\frac{37.5}{10.9} = apotema_B \\ 3.44 = apotema_B](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B5%7D%7B10.9%7D+%3D+%5Cfrac%7Bapotema_B%7D%7B7.5%7D+%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%287.5%29%285%29%7D%7B10.9%7D+%3D+apotema_B+%5C%5C%0A%5Cfrac%7B37.5%7D%7B10.9%7D+%3D+apotema_B+%5C%5C+3.44+%3D+apotema_B)
Ahora que conocemos la apotema del pentágono B, podemos saber su área:
![A= \frac{(25)(3.44)}{2} \\
A= \frac{86}{2} \\
A= 43 A= \frac{(25)(3.44)}{2} \\
A= \frac{86}{2} \\
A= 43](https://tex.z-dn.net/?f=A%3D+%5Cfrac%7B%2825%29%283.44%29%7D%7B2%7D+%5C%5C%0AA%3D+%5Cfrac%7B86%7D%7B2%7D+%5C%5C%0AA%3D+43)
Por último sólo falta encontrar la razón entre los perímetros:
![\frac{Perimetro_A}{Perimetro_B} = \frac{54.5}{25} = 2.18 \frac{Perimetro_A}{Perimetro_B} = \frac{54.5}{25} = 2.18](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BPerimetro_A%7D%7BPerimetro_B%7D+%3D+%5Cfrac%7B54.5%7D%7B25%7D+%3D+2.18+)
Y la razón entre las áreas:
![\frac{area_A}{area_B} = \frac{204.375}{43} = 4.75290... \frac{area_A}{area_B} = \frac{204.375}{43} = 4.75290...](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Barea_A%7D%7Barea_B%7D+%3D+%5Cfrac%7B204.375%7D%7B43%7D+%3D+4.75290...)
¿Conclusiones? La razón entre las áreas es igual a la razón al cuadrado de los perímetros:![2.18^2=4.75290... 2.18^2=4.75290...](https://tex.z-dn.net/?f=2.18%5E2%3D4.75290...)
El área de un pentágono se calcula con la siguiente fórmula:
donde
Por lo tanto, el área del pentágono A es igual a
Con el pentágono B tenemos un problema: no conocemos la apotema. Para calcular la apotema, sólo hace falta una pequeña regla de 3, pues son pentágonos semejantes y cumplen la siguiente condición: la razón entre los lados es la misma que la razón entre las apotemas, por lo tanto:
Ahora que conocemos la apotema del pentágono B, podemos saber su área:
Por último sólo falta encontrar la razón entre los perímetros:
Y la razón entre las áreas:
¿Conclusiones? La razón entre las áreas es igual a la razón al cuadrado de los perímetros:
kevinjersson:
Una pregunta de donde sale el 10,9 ?
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