Question

me podrían ayudar porfavor?​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                Función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma:

                     f(x)= ax² +bx + c

Donde:

a,b,c ∈ R    ∧  a≠0

Su grafica corresponde a una curva llamada  parábola.  

Además su dominio siempre es el conjunto de todos los números reales

Analicemos sus características:

                                       Vértice

Es el punto mas alto o mas bajo de la función (dependiendo del signo de "a").  Las coordenadas son:

          $(x_{v} ,y_{v}) = (-\frac{b}{2a} , -\frac{b^{2} }{4a} +c)$

Sin embargo la coordenada "yv" se puede obtener mas fácilmente evaluando la función en xv, es decir calculamos   f(xv)

                                  Concavidad

Nos indica la orientación de la parábola:

• Si a > 0 (es decir es positivo). Entonces la parábola se denomina cóncava hacia arriba

• Si a < 0 (negativa). Entonces la parábola es cóncava hacia abajo, o también llamada convexa

                                 Eje de simetría

Es una línea vertical imaginaria, que al trazarla desde el vértice, divide a la parábola en 2 mitades que son iguales

La coordenada "xv" nos determina el eje de simetría

                               Intersección en "x"

Son aquellos puntos donde la grafica cruza al eje "x". Se obtiene igualando f(x)= 0.

Una función cuadrática puede tener:

• 2 raíces reales y distintas si la parábola atraviesa el eje "x"

• 2 raíces reales pero iguales si el grafico toca al eje "x" pero no lo atraviesa

• 2 raíces complejas conjugadas si el grafico no toca al eje "x"

                           Intersección en "y"

Son los puntos donde la grafica corta al eje "y". Se obtiene evaluando la función en x=0, es decir calculamos f(0)

Ahora podemos resolver el ejercicio

*Adjunto grafica

A)  Orientación:   Es cóncava hacia arriba ya que "a" es positiva

B) Calculemos el vértice:

Sabemos que esta dado por:      $(x_{v} ,y_{v})$

$x_{v} =-\frac{b}{2a}$

Como: a=2,   b= -6 y c= 4,  se tiene que:

$x_{v} =-\frac{-6}{2(2)}$

$x_{v} =-(\frac{-6}{4} )$

$x_{v} =\frac{3}{2}$

$x_{v} =1.5$

Para la coordenada "yv" tenemos que:

$f(x_{v})= a(x_{v} )^{2} +b(x_{v} )+c$

$f(1.5)= 2(1.5)^{2} -6(1.5)+4$

$f(1.5)=4.5 -9+4$

$f(1.5)=-0.5$

Respuesta:    El vértice esta dado por la coordenadas:    (1.5 ; -0.5)

C)  Sabemos que el eje de simetría es "xv",  es decir es 1.5

D)  A través de la grafica podemos observar que la parábola atraviesa el eje "x", es decir, podemos intuir que tendrá 2 raíces reales y distintas. Vamos a calcularlas

La intersección en "x" esta dada cuando f(x)=0 , es decir, se debe cumplir que:

$0= 2x^{2} -6x+4$

$\frac{0}{2} = \frac{2x^{2} }{2} -\frac{6x}{2} +\frac{4}{2}$

$x^{2} -3x+2=0$

Factorizando:

$(x-2) (x-1)=0$

$(x-2)= 0$  

$x_{1} =2$

$(x-1)=0$

$x_{2}=1$

Las intersecciones en "x" son:  (2;0) y (1;0)

E)    Nos basta con evaluar f(x) en 0

$f(0)=2(0)^{2}-6(0)+4$

$f(0)= 4$

Es decir la intersección en "y" es:  (0;4)

F)  Por definición el dominio de una función cuadrática son todos los reales, es decir:

Dom( f(x) )=  x ∈ R

O escrito mas lindo:

Dom ( f(x) )=  -∞ < x < ∞

Cualquiera de la 2 formas es correcta

G) El recorrido o rango de una función al conjunto de valores reales que puede tomar la variable f(x)

Para una función cuadrática el rango se obtiene de la siguiente:

• Si a < 0 (negativa) el rango es f(x) ≤ yv

• Si a > 0 (positiva) el rango es f(x) ≥ yv

En nuestro caso a= 2, es decir es positiva, por lo tanto:

Rango ( f(x) ) = f(x) ≥ -0.5

Escrito de otra forma:

Rango ( f(x) )= [-0.5 ; ∞ )

Es decir que la variable f(x) puede tomar todos aquellos valores que sean mayores o iguales a -0.5,  Por ej:  -0.6 ya no es un valor dentro del rango

Saludoss