Respuestas
Hola, aquí va la respuesta
Función cuadrática
Una función cuadrática es una función de la forma:
f(x)= ax² +bx + c
Donde:
a,b,c ∈ R ∧ a≠0
Su grafica corresponde a una curva llamada parábola.
Además su dominio siempre es el conjunto de todos los números reales
Analicemos sus características:
Vértice
Es el punto mas alto o mas bajo de la función (dependiendo del signo de "a"). Las coordenadas son:
Sin embargo la coordenada "yv" se puede obtener mas fácilmente evaluando la función en xv, es decir calculamos f(xv)
Concavidad
Nos indica la orientación de la parábola:
- Si a > 0 (es decir es positivo). Entonces la parábola se denomina cóncava hacia arriba
- Si a < 0 (negativa). Entonces la parábola es cóncava hacia abajo, o también llamada convexa
Eje de simetría
Es una línea vertical imaginaria, que al trazarla desde el vértice, divide a la parábola en 2 mitades que son iguales
La coordenada "xv" nos determina el eje de simetría
Intersección en "x"
Son aquellos puntos donde la grafica cruza al eje "x". Se obtiene igualando f(x)= 0.
Una función cuadrática puede tener:
- 2 raíces reales y distintas si la parábola atraviesa el eje "x"
- 2 raíces reales pero iguales si el grafico toca al eje "x" pero no lo atraviesa
- 2 raíces complejas conjugadas si el grafico no toca al eje "x"
Intersección en "y"
Son los puntos donde la grafica corta al eje "y". Se obtiene evaluando la función en x=0, es decir calculamos f(0)
Ahora podemos resolver el ejercicio
*Adjunto grafica
A) Orientación: Es cóncava hacia arriba ya que "a" es positiva
B) Calculemos el vértice:
Sabemos que esta dado por:
Como: a=2, b= -6 y c= 4, se tiene que:
Para la coordenada "yv" tenemos que:
Respuesta: El vértice esta dado por la coordenadas: (1.5 ; -0.5)
C) Sabemos que el eje de simetría es "xv", es decir es 1.5
D) A través de la grafica podemos observar que la parábola atraviesa el eje "x", es decir, podemos intuir que tendrá 2 raíces reales y distintas. Vamos a calcularlas
La intersección en "x" esta dada cuando f(x)=0 , es decir, se debe cumplir que:
Factorizando:
Las intersecciones en "x" son: (2;0) y (1;0)
E) Nos basta con evaluar f(x) en 0
Es decir la intersección en "y" es: (0;4)
F) Por definición el dominio de una función cuadrática son todos los reales, es decir:
Dom( f(x) )= x ∈ R
O escrito mas lindo:
Dom ( f(x) )= -∞ < x < ∞
Cualquiera de la 2 formas es correcta
G) El recorrido o rango de una función al conjunto de valores reales que puede tomar la variable f(x)
Para una función cuadrática el rango se obtiene de la siguiente:
- Si a < 0 (negativa) el rango es f(x) ≤ yv
- Si a > 0 (positiva) el rango es f(x) ≥ yv
En nuestro caso a= 2, es decir es positiva, por lo tanto:
Rango ( f(x) ) = f(x) ≥ -0.5
Escrito de otra forma:
Rango ( f(x) )= [-0.5 ; ∞ )
Es decir que la variable f(x) puede tomar todos aquellos valores que sean mayores o iguales a -0.5, Por ej: -0.6 ya no es un valor dentro del rango
Saludoss
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