Un grupo de astronautas se embarcan en un largo viaje de 18 meses. Durante este tiempo se
debe estar monitoreando la salud de los tripulantes. La masa corporal de cada astronauta se
mide cada mes como parte del examen de rutina. En este escenario espacial no se puede
utilizar una báscula convencional para dicho propósito, en su lugar se tiene un gran resorte,
un bloque con una masa conocida de 30,0 kg, un cronómetro óptico “optical stopwatch” y un
cinturón con una agarradera que permite que cada astronauta se pueda enganchar al resorte.
Pedro se pone el cinturón, se engancha al resorte y elonga el resorte 25 cm hasta la marca del
“stopwatch” se suelta y al llegar nuevamente al “stopwatch” éste marca un tiempo de 3,20 s.
Si al hacer lo mismo, pero para el bloque con masa conocida el tiempo es de 2,02 s.
A. ¿Cuál es la masa de Pedro?
B. María también mide su masa ¿Cuál es la masa de María si su tiempo es de 2,90 s?
C. ¿Qué pasaría si la elongación del resorte fuera de 15 cm en lugar de 25 cm? ¿Qué
cambiaría?
D. Durante el viaje pasan a 500 km de la superficie de Júpiter. ¿Cómo afectaría esto las
mediciones? ¿Por qué?
Respuestas
Respuesta:
A = 75.29
B = 61.83 kg
C = La magnitud de la fuerza decrecería. A su vez la masa sería menor.
D = El periodo sería mayor, la aceleración mayor, y la elongación mayor dentro de las disposiciones del modelo del resorte, sin embargo la masa sería la misma.
Explicación:
ω=√(k/m_0 )
Por lo que podríamos despejar la constante k:
ω^2=k/m_0
ω^2 m_0=k
O sea:
((4π^2 m_0)/T^2 =k #ecuación 1 [1] )
Sabiendo que el valor de la masa conocida es de 30kg y su periodo T es igual a 2.02s, procedemos a hallar el valor de la constante k por:
(4π^2∙30kg)/(2.02s)^2 =k
k=290.25 N/m
Por lo que sustituyendo con k constante y la T de Pedro, según la [1] se tiene que:
((k∙T^2)/(4π^2 )=m #ecuación 2[2])
(290.25 N/m∙(3.20s)^2)/(4π^2 )=75.29kg
María también mide su masa ¿Cuál es la masa de María si su tiempo es de 2,90 s?
De [2] tenemos que:
(290.25 N/m∙(2.9s)^2)/(4π^2 )=61.83kg
¿Qué pasaría si la elongación del resorte fuera de 15 cm en lugar de 25 cm? ¿Qué cambiaría?
Cambiaría la magnitud de la fuerza del resorte, ya que
|F|=|-kx|
Entonces, su fuerza decrecería.
Y así, al combinarla con la segunda ley de Newton:
∑F=ma
Con m nuestra masa por determinar y a la aceleración del resorte. De esta forma:
kx=ma
Luego podríamos determinar la aceleración del resorte con el cambio de la posición x a través del tiempo (velocidad) y el cambio de esta velocidad a través del tiempo (medido con el cronómetro) nos daría la aceleración del resorte, con esto despejaríamos la masa m, tal que:
kx/a=m
((4π^2 m_0 x)/((〖T'〗^2 a)=m #ecuación 3[3] )
Por lo que también observamos que, si dicha elongación decrece, la masa también.