El producto de dos números impares positivos consecutivos es cuatro veces el menor, más 15. ¿Cuál es su suma?
Respuestas
Respuesta dada por:
2
Escribamos el menor número impar de estos dos como
![2n+1 2n+1](https://tex.z-dn.net/?f=2n%2B1)
con
(i.e. n es un número natural). El impar consecutivo es entonces
![2(n+1)+1 2(n+1)+1](https://tex.z-dn.net/?f=2%28n%2B1%29%2B1)
o equivalentemente
![2n+3 2n+3](https://tex.z-dn.net/?f=2n%2B3)
Ahora bien, vamos a generar una ecuación a partir del anunciado:
![(2n+1)(2n+3)=4(2n+1)+15 (2n+1)(2n+3)=4(2n+1)+15](https://tex.z-dn.net/?f=%282n%2B1%29%282n%2B3%29%3D4%282n%2B1%29%2B15)
Esto es lo que queremos resolver, de donde vamos a encontrar n:
![(2n+1)(2n+3)=4(2n+1)+15\\ 4n^{2}+6n+2n+3=8n+4+15\\ 4n^{2}-16=0\\ n^2=4\\n=\pm2 (2n+1)(2n+3)=4(2n+1)+15\\ 4n^{2}+6n+2n+3=8n+4+15\\ 4n^{2}-16=0\\ n^2=4\\n=\pm2](https://tex.z-dn.net/?f=%282n%2B1%29%282n%2B3%29%3D4%282n%2B1%29%2B15%5C%5C+4n%5E%7B2%7D%2B6n%2B2n%2B3%3D8n%2B4%2B15%5C%5C+4n%5E%7B2%7D-16%3D0%5C%5C+n%5E2%3D4%5C%5Cn%3D%5Cpm2)
(Caso 1) n=+2, de donde se siguen los dos numero impares
![2n+1=2\cdot2+1=5 2n+1=2\cdot2+1=5](https://tex.z-dn.net/?f=2n%2B1%3D2%5Ccdot2%2B1%3D5)
y
![2n+3=2\cdot2+3=7 2n+3=2\cdot2+3=7](https://tex.z-dn.net/?f=2n%2B3%3D2%5Ccdot2%2B3%3D7)
Estos dos número son impares, consecutivos, positivos y satisfacen el enunciado: su suma es 12.
(Caso 2) n=-2, de donde se siguen los dos numero impares
![2n+1=2\cdot(-2)+1=-3 2n+1=2\cdot(-2)+1=-3](https://tex.z-dn.net/?f=2n%2B1%3D2%5Ccdot%28-2%29%2B1%3D-3)
y
![2n+3=2\cdot(-2)+3=-1 2n+3=2\cdot(-2)+3=-1](https://tex.z-dn.net/?f=2n%2B3%3D2%5Ccdot%28-2%29%2B3%3D-1)
Estos dos número son impares, consecutivos pero negativos, por lo que quedan descartados.
con
o equivalentemente
Ahora bien, vamos a generar una ecuación a partir del anunciado:
Esto es lo que queremos resolver, de donde vamos a encontrar n:
(Caso 1) n=+2, de donde se siguen los dos numero impares
y
Estos dos número son impares, consecutivos, positivos y satisfacen el enunciado: su suma es 12.
(Caso 2) n=-2, de donde se siguen los dos numero impares
y
Estos dos número son impares, consecutivos pero negativos, por lo que quedan descartados.
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