Question

determine los valores de "m" tal que la ecuacion cuadratica no tenga solucion en R
x² + 2 ( m-1) x + m² = 0

Answer 1

Para determinar que tipo de soluciones quiero en una ecuación cuadrática...todo dependerá del criterio que le debemos al "discriminante"..

Es decir, en la fórmula general 

$X_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}$

De aquí solo nos interesa el discriminante..
$\sqrt{ b^{2}-4ac }$

El ejercicio nos pide...que quiere soluciones imaginarias, complejas...es decir lo que está dentro de la raíz quiero que sea negativo...entonces

$b^{2} -4ac\ \textless \ 0$

De la ecuación que nos dan...sabemos que:

$a=1 \\ b=2(m-1) \\ c= m^{2}$

entonces reemplacemos:

$(2(m-1))^{2} -4(1)( m^{2} )\ \textless \ 0 \\ 4( m^{2}-2m+1 )-4 m^{2} \ \textless \ 0 \\ 4 m^{2} -8m+4-4 m^{2} \ \textless \ 0 \\ -8m+4\ \textless \ 0 \\ -8m\ \textless \ -4 \\ m\ \textgreater \ \frac{1}{2}$

Listo...eso significa que la ecuación para cualquier valor mayor que !/2 las raíces son imaginarias..hasta aquí es la respuesta¡¡...lo que sigue es opcional si quieres lo revisas...te lo dejo de repente...

Si quieres podemos comprobar...veamos que pasa con diferentes valores
Probemos con un número menor que 1/2

$m=0$

$a=1 \\ b=2(m-1)=2(0-1)=-2 \\ c= m^{2} =0 ^{2} =0 \\ \\ X_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ \\ X_{1,2} = \frac{-(-2)(+-) \sqrt{ (-2)^{2}-4(1)(0) } }{2(1)} \\ \\ X_{1,2} = \frac{2(+-) \sqrt{ 4 } }{2} \\ x_{1} = \frac{2+2}{2} =2 \\ x_{2} = \frac{2-2}{2} =0$

Y nos quedó dos soluciones reales distintas...veamos que pasa con m=1/2

$a=1 \\ b=2(m-1)=2( \frac{1}{2}-1 )=-1 \\ c= ( \frac{1}{2} )^{2} = \frac{1}{4} \\ \\ X_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ X_{1,2} = \frac{-(-1)(+-) \sqrt{ (-1)^{2}-4(1)( \frac{1}{4} ) } }{2(1)} \\ X_{1,2} \frac{1(+-) \sqrt{ 1-1 } }{2(1)} \\ x_{1} = \frac{1-0}{2} = \frac{1}{2} \\ x_{2}= \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$

Cuando m=1/2...la solución es única...una única solución

y probemos con m=2

$a=1 \\ b=2(m-1)=2(2-1)=2 \\ c= m^{2}=4 \\ \\ X_{1,2}= \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ \\ X_{1,2}= \frac{-(2)(+-) \sqrt{ (2)^{2}-4(1)(4) } }{2(1)} \\ X_{1,2}= \frac{-(2)(+-) \sqrt{ 4-16 } }{2} \\ X_{1,2}= \frac{-(2)(+-) \sqrt{-12} }{2}$

Y nos salió dos soluciones imaginarias...

podemos concluir

$m\ \textgreater \ \frac{1}{2} :Solucion _{IMAGINARIA} \\ m= \frac{1}{2} :Solucion _{UNICA} \\ m\ \textless \ \frac{1}{2}:Solucion _{2REALES}$