Question

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Dada la ecuación de la elipse 9²+16²−36+96+36=0 hallar las coordenadas de su centro, el semieje mayor, el semieje menor, los focos y la longitud del lado recto.

Answer 1

Respuesta:

De una elipse horizontal y centrada en el origen se conoce su excentricidad 0,5 y el Semieje mayor que es 2 cm. Calcular sus focos, vértices, ejes, distancia focal y ecuación. Solución: Datos: C(0,0), Elipse es Horizontal, tiene la forma siguiente: 2 2 + 2 2 = 1. La excentricidad está dada por la fórmula: = = 1 2 ; El semieje mayor es a=2. Hallar Focos, Vértices, ejes, distancia focal y la ecuación. De la excentricidad se tiene que: c=1, a=2 y b=?. Mediante la relación Pitagórica tenemos: 2 = 2 + 2 → 2 = 2 − 2 → = ±√3 Luego la ecuación de la elipse horizontal es la siguiente: 2 4 + 2 3 = 1 Las coordenadas del foco son: 2(−, ) 1(+, ) → 2(−1,0) 1(1,0) Las coordenadas de los vértices son: Vértice Mayor: 2 (−, ) 1(+, ) → 2 (−2,0) 1(2,0) Vértice Menor: 2(ℎ, −) 1(ℎ, ) → 2(0, −√3) 1(0,√3) Eje Mayor = 2aa=22a=4 Eje Mayor = 4 Eje Menor = 2bb=√32b = 2√3  Eje Menor = 2√3 Eje Focal = 2cc = 12c = 2(1) = 2  Eje Focal = 2 Distancia Focal = c  Distancia Focal = 1 La Ecuación es: 2 4 + 2 3 = 1 Su Gráfica es:

2. 2.-Dada la elipse representada por la ecuación : + − − + = , determine: a) La longitud de su lado recto b) La Excentricidad c) Las coordenadas de los extremos del eje menor y mayor d) La ecuación de una de sus rectas directrices e) ¿El punto Po( 6/5, -2) pertenece a la elipse? Solución: la ecuación es : 252 + 92 − 150 − 36 + 36 = 0, que es su forma general de la elipse, es decir: 2 + 2 + + + = 0. Este problema se puede realizar de 2 formas: 1) Componiendo trinomios 2) Aplicando formula de estudio realizadocon anterioridad Caso 1) Componiendo trinomios: la cual se realiza manipulando los factores en x e y, es decir: 252 + 92 − 150 − 36 + 36 = 0 → (252 − 150)+ (92 − 36) = −36 (252 − 150) + (92 − 36) = −36 → 25( 2 − 6) + 9( 2 − 4) = −36 25( 2 − 6 + 9 − 9) + 9( 2 − 4 + 4 − 4) = −36 25( 2 − 6 + 9) − 9 ∗ 25 + 9( 2 − 4 + 4) − 4 · 9 = −36 25( − 3)2 + 9( − 2)2 = −36 + 36 + 225 → 25( − 3)2 + 9( − 2)2 = 225 Dividimos entre 225 a ambos miembros de la igualdad y nos queda, es decir 25( −3)2 225 + 9( −2)2 225 = 225 225 → (−3)2 9 + (−2)2 25 = 1 Como en el denominador de la variable “Y” es mayor que en la variable “X”, se dice que la elipse es vertical, porque el lado mayor esta paralelo ó coincide con el eje “Y”. Su forma canónica o usual es de la forma siguiente: ( −ℎ)2 2 + ( −)2 2 = 1, comparando ambas ecuaciones se tiene los siguientes elementos: Centro Elipse es (ℎ, ) → (3,2) → { ℎ = 3 = 2 2 = 25 → = 5; 2 = 9 → = 3; a “c” lo obtenemos mediante la relación Pitagórica, como sabemos que a>c2 = 2 + 2 → 2 = 2 − 2 → 2 = 25 − 9 = 16 ∴ = 4 Resolviendo: a) La longitud de su lado recto: el lado recto de una elipse es la distancia del segmento que pasa por el foco y corta a la elipse, por lo que hay dos lados rectos, pero de igual longitud, es decir, hay 4 ptos: dos arriba y dos abajo, ya que la elipse es vertical como dijimos antes, estos puntos de cortes son: Los de arriba: ( 2 , ) (− 2 , ) → = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2 = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2 = √(− 2 − 2 ) 2 + ( − )2 = √(−2 2 ) 2 + 0 = |2 2 | → = 2(9) 5 → = 18 5 Los de abajo: ( 2 , −) (− 2 , −) → = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2