Respuestas
Un octágono tiene 20 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, D = n ( n − 3 ) / 2 {\displaystyle D=n(n-3)/2} ; siendo el número de lados n = 8 {\displaystyle n=8} , tenemos:
D = 8 ( 8 − 3 ) 2 = 20 {\displaystyle D={\frac {8(8-3)}{2}}=20}La suma de todos los ángulos internos de cualquier octógono es 1080 grados ó 6 π {\displaystyle 6\pi } radianes.
Octágono regular Construcción de un octógono regular con regla y compásUn octágono regular es un polígono regular de ocho lados, por tanto, tiene sus lados y ángulos iguales (congruentes) y los lados se unen formando un ángulo de 135º ó 3 π / 4 {\displaystyle 3\pi /4} rad. Cada ángulo externo del octógono regular mide 45º ó π / 4 {\displaystyle \pi /4} rad.
Para obtener el perímetro P de un octógono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por ocho (el número de lados n del polígono).
P = n ⋅ t = 8 t {\displaystyle P=n\cdot t=8\ t}pero si solo se conoce la longitud del apotema del polígono,a, el valor del perímetro será:
P = 16 a ( 2 − 1 ) {\displaystyle P=16a({\sqrt {2}}-1)}El área A de un octógono regular de lado t se calcula mediante la fórmula:
Octógono regular A = 8 t 2 4 tan ( π 8 ) ≃ 4 , 8284 t 2 {\displaystyle A={\frac {8t^{2}}{4\ \tan({\frac {\pi }{8}})}}\simeq 4,8284\ t^{2}}donde π {\displaystyle \pi } es la constante pi y t a n {\displaystyle tan} es la función tangente calculada en radianes.
Si se conoce la longitud del apotema a del polígono, una alternativa para calcular el área es:
A = P ⋅ a 2 = 8 t ⋅ a 2 = 4 ( t ⋅ a ) {\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {8t\cdot a}{2}}=4(t\cdot a)}Si sólo conocemos el lado t, podemos calcular el área con la siguiente fórmula:
A = 2 t 2 ( 1 + 2 ) {\displaystyle A=2t^{2}(1+{\sqrt {2}})}