Question

Contra un muro de altura 12m se apoya una escalera. Si el pie (la parte de la escalera que toca tierra) de la escalera está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; si el pie de la escalera está a 9 metros del muro, ¿Cuánto sobresale por encima del muro? * ​

Answer 1

La escalera sobresale 8 metros por encima del muro

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Solución

En este ejercicio se tienen dos situaciones:

Primera Situación

Se apoya contra un muro de 12 metros de altura una escalera, en donde se sabe que el pie de la escalera se encuentra a 5 metros del muro.

El ángulo que forma la altura del muro con el suelo es un ángulo recto, con lo que tenemos un triángulo rectángulo.

Y donde la escalera ubicada de ese modo, es decir a esa distancia de la pared, sobresale un tramo de esta 10 metros por encima del muro.

Donde no sabemos cuanto mide la parte de escalera que se apoya sobre el muro.

Siendo la altura de la pared un cateto, el otro cateto la distancia del pie de la escalera a la pared

La longitud de la parte desconocida de la escalera es la hipotenusa del triángulo rectángulo

Hallaremos la parte desconocida de la escalera empleando el Teorema de Pitágoras

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = (12 \ m) ^{2} \ + \ (5 \ m)^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 144 \ m^{2} \ + \ 25 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 169 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{169 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{169 \ m ^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { c = 13 \ metros }}$

La parte desconocida de la escalera mide 13 metros

Como para este caso sabemos por enunciado que la escalera sobresale 10 metros por encima de la pared determinamos la longitud de la escalera

$\large\boxed {\bold { Largo \ Escalera = Tramo \ Hasta \ Muro + Tramo \ Sobresale }}$

$\boxed {\bold { Largo \ Escalera = 13 \ m \ + 10 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { Largo \ Escalera = 23 \ m }}$

Por lo tanto la longitud de la escalera es de 23 metros

Segunda Situación

Se apoya contra el mismo muro de 12 metros de altura la misma escalera, Donde ahora que conocemos la longitud de la escalera, ni esta ni la altura del muro cambiarán

En donde en este caso se coloca el pie de la escalera a 9 metros del muro. Por tanto lo que cambia es la posición de la escalera

Y se nos pide determinar cuánto sobresale en esta posición la escalera por encima del muro

Nuevamente la altura de la pared será un cateto, y el otro cateto la nueva distancia del pie de la escalera a la pared

Donde determinaremos cuanto mide la parte de escalera que se apoya sobre el muro para la nueva posición

Aplicamos Teorema de Pitágoras

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = (12 \ m) ^{2} \ + \ (9 \ m)^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 144 \ m^{2} \ + \ 81 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 225 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{225 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{225 \ m ^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { c = 15 \ metros }}$

Conocemos la longitud de la escalera que hallamos en el inciso anterior

Sabiendo ahora hasta donde alcanza la parte de escalera en la nueva posición, determinamos cuanto sobresale esta vez por encima del muro restando de la longitud de la escalera esta distancia hallada

$\large\boxed {\bold { Tramo \ Sobresale = Largo \ Escalera - Tramo \ Hasta \ Muro }}$

$\boxed {\bold { Tramo \ Sobresale = 23 \ m \ - 15 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { Tramo \ Sobresale = 8 \ m }}$

La escalera sobresale 8 metros por encima del muro