Question

alguno me podría ayudar en calculo integral se los agradeceria mucho y de corazón


gracias

Answer 1

Bueno para el primer ejercicio...primero recordemos como se resolvía un binomio elevado al cubo
$(a+b)^{3} = a^{3} +3a ^{2} b+3a b^{2} +b^{3}$

Con ésto y recordando que las propiedades de las integrales:

$\int\limits {(f(x)+g(x)+h(x)+...)} \, dx = \int\limits{f(x)} \, dx +\int\limits{g(x)} \, dx +\int\limits{h(x)} \, dx +..$

Aplicando todo ésto vamos a resolver el primero ejercicio

$\int\limits {(2x+9) ^{3} } \, dx = \int\limits {(( 2x )^{3}+3(2x) ^{2}9+3(2x) 9^{2}+ 9^{3} )} \, dx =... \\ \\ ...= \int\limits {(8 x^{3}+108 x^{2} +486x+729) } \, dx$

Ah ésta integral ya podemos calcular su primitiva...

$\int\limits {(8 x^{3}+108 x^{2} +486x+729) } \, dx= 8\frac{ x^{4} }{4} +108 \frac{ x^{3} }{3} +486 \frac{ x^{2} }{2} +729x+C= \\ \\...=2 x^{4} +36 x^{3} +243 x^{2} +729x+C$

Para el segundo ejercicio 
$\int\limits {sin ^{2}(2x)cos(2x) } \, dx$

Tenemos que hacer un sustitución así, y derivamos

$u=2x \\ du=2dx \\ dx= \frac{du}{2}$

Entonces nos quedaría así...

$\int\limits {sin ^{2}(u)cos(u) } \, \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int\limits {sin^{2}(u)cos(u) } \, du$

Sacamos la constante para que no nos moleste...
Ahora tenemos que hacer otra sustitución 

$v=sin(u) \\ dv=cos(u)du \\ du= \frac{dv}{cos(u)}$

Entonces nos quedaría así

$\frac{1}{2} \int\limits { v^{2}cos(u) } \, \frac{dv}{cos(u)}= \frac{1}{2} \int\limits { v^{2} } \, dv= \frac{1}{2} \frac{ v^{3} }{3} +C \\ \\ Pero:v=sin(u) \\ \frac{1}{6} sin ^{3} (u) \\ Pero:u=2x \\ \frac{1}{6} sin ^{3} (2x)+C$

Para el siguiente tenemos 

$\int\limits {( e^{x}+1 )^{2} e^{x} } \, dx$

Bueno podríamos desarrollar ese binomio al cuadrado...y luego multiplicar por el último factor....e integraríamos como de costumbre pero se ve más divertido...haciendo una sustitución, entonces consideremos

$u= e^{x} +1 \\ du= e^{x} dx \\dx= \frac{du}{ e^{x} } \\ \\ \int\limits{ (u^{2}) e^{x} } \, \frac{du}{ e^{x} } = \int\limits { u^{2} } \, du= \frac{ u^{3} }{3} +C \\ Pero:u= e^{x} +1 \\ \\ \frac{( e^{x}+1 )^{3} }{3} +C$

Y para el último ejercicio tenemos, bueno para los ÚLTIMOS¡..no me di cuenta...¬¬

Haber...tenemos

$\int\limits {4x e^{2x} } \, dx$

Entonces podemos integrar por sustitución

$u=2x \\ du=2dx \\ dx= \frac{du}{2}$
Pero vamos a necesitar que todo esté en función de "u"...entonces despejemos del cambio de variable..."x" entonces nos queda

$x= \frac{u}{2}$

entonces nos quedaría así

$\int\limits {4 \frac{u}{2} e^{u} } \, \frac{du}{2} = \int\limits{4 \frac{ue^{u} }{4} } \, du = \int\limits {u e^{u} } \, du$

Ahora tenemos que integrar por partes para eso debemos recordar la integral que necesitamos

$\int\limits {udv} \,=uv- \int\limits {vdu} \,$
Puedes acordarte:
"Un día vi=una vaca -vestida de unifome"

Para eso debemos escoger quien va a ser nuestra "u"...y lo que sobre será "dv"...Para eso usamos la técnica: ILATE, (Inversa,Logaritmica,Aritmética,Trigonométrica,Exponencial)

Para ésto buscamos en la integral que queremos integrar que función es la asoma primero según pronuncias la palabra ILATE...entonces tenemos una Aritmética, y luego una Exponencial...entonces ya sabemos quien será nuestro "U"..voy a poner en mayúsculas para no confundirnos...

$U=u \\ dU=du \\ \\ Entonces: \\ e^{u}du =dV \\ Integrando \\ e^{u} =V$

Entonces nos quedaría 

$\int\limits {u e^{u} } \, du=u e^{u} - \int\limits { e^{u} } \, du= ue^{u} - e^{u} +C \\ Pero:u=2x \\ \\ 2x e^{2x} - e^{2x} +C$

Nota: hay que tener cuidado, cuando hacemos sustituciones no hay que acostumbrarse a usar la "u"...porque ya viste lo que pasó...te puedes confundir....

Para el último...:D¡¡

$\int\limits {xsec ^{2}(x) } \, dx$

Ahora tendremos que integrar por partes...Considerando ILATE...primero tenemos una función aritmética...y luego una trigonométrica...entonces ya sabemos quien va a ser nuestro "u"

$u=x \\ du=dx$

Y lo que sobre 

$sec^{2} (x)dx=dv \\ Integramos \\ tan(x)=v$

Entonces nos quedaría

$\int\limits {xsec ^{2}(x) } \, dx =xtan(x)- \int\limits {tan(x)} \, dx$

Ahora si no te sabes esa integral...podemos hacerla aparte...como recordarás

$tan(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)} \\ Entonces: \\ \\ \int\limits{ \frac{sin(x)}{cos(x)} } \, dx$

y para integrar ésto consideremos una sustitución...así..

$r=cos(x) \\ dr=-sin(x)dx \\ \\ dx= -\frac{dr}{sin(x)} \\ \\ Entonces \\ \\ \int\limits{ \frac{sin(x)}{r} } \, \frac{-dr}{sin(x)} = \int\limits {- \frac{dr}{r} } \, =-ln( |r|) =-ln( |cos(x)|)+C$

reemplazando en lo que dejamos anteriormente..


$\int\limits {xsec ^{2}(x) } \, dx =xtan(x)- (-ln( |cos(x)|))} \, dx =... \\ \\ ...=xtan(x)+ln( |cos(x)|)+C$

Y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas