Question

quiero saber como hacer ese ejercicio$\lim_{X \to \ 1 de la funcion \frac{X-1}{ \sqrt[3]{X+7}-2 }$

Answer 1

En este tipo de límites se trata de racionalizar esa expresión

$\dfrac{x-1}{\sqrt[3]{x+7}-2}\sim \dfrac{(x-1)\left(\sqrt[3]{x+7}^2+2\sqrt[3]{x+7}+4\right)}{\left(\sqrt[3]{x+7}-2\right)\left(\sqrt[3]{x+7}^2+2\sqrt[3]{x+7}+4\right)}\\ \\ \\ \dfrac{x-1}{\sqrt[3]{x+7}-2}\sim\dfrac{(x-1)\left(\sqrt[3]{x+7}^2+2\sqrt[3]{x+7}+4\right)}{\sqrt[3]{x+7}^3-2^3}\\ \\ \\ \dfrac{x-1}{\sqrt[3]{x+7}-2}\sim\dfrac{(x-1)\left(\sqrt[3]{x+7}^2+2\sqrt[3]{x+7}+4\right)}{x-1}$


$\dfrac{x-1}{\sqrt[3]{x+7}-2}\sim\sqrt[3]{x+7}^2+2\sqrt[3]{x+7}+4\\ \\ \\ \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\sqrt[3]{x+7}-2}=\lim\limits_{x\to 1}\left(\sqrt[3]{x+7}^2+2\sqrt[3]{x+7}+4\right)\\ \\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\sqrt[3]{x+7}-2}=12}}$