Question

Un punto animado de movimiento circular, cambia su frecuencia angular de 1200 RPM a 700 RPM por acción de una aceleración de 1,5 rad/s2. Si el radio de la circunferencia es 2m. El tiempo empleado es

Answer 1

El tiempo empleado es de aproximadamente 34.90 segundos

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

Solución

Si la velocidad angular aumenta, la aceleración angular será positiva, donde tendríamos un caso de movimiento circular uniformemente acelerado. Por el contrario  si la velocidad angular disminuye, la aceleración  angular será negativa, y estaríamos en presencia de un caso de movimiento circular uniformemente retardado

La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante

La aceleración angular se expresa en radianes/segundo² (rad/s²). Tiene carácter vectorial.

En el ejercicio propuesto la partícula cambia su frecuencia angular de 1200 revoluciones por minuto a 700 revoluciones por minuto. Por tanto la velocidad angular decrece según transcurre el tiempo

Por tanto la aceleración sólo puede ser negativa debido a que el cuerpo está desacelerando

Convertimos las velocidades angulares de revoluciones por minuto a radianes por segundo

Sabemos que la velocidad angular inicial de la partícula es de 1200 revoluciones por minuto y que la velocidad angular final es de 700 revoluciones por minuto

Sabiendo que una circunferencia completa equivale a 2π radianes

Y que en 1 minuto se tienen 60 segundos

Donde    

$\bold { \omega_{0} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Inicial }$

$\bold { \omega_{f} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Final }$ 

$\boxed {\bold { \omega_{0} = 1200 \ \frac{\not rev}{\not min} \ . \ \left(\frac{2 \ \pi }{1 \ \not rev}\right) \ . \ \left(\frac{1 \ \not min }{60 \ s}\right) = \frac{1200 \ \ 2\pi }{60} \ \frac{rad}{s} }}$

$\boxed {\bold { \omega_{0} = \frac{1200 \ 2\ \pi }{60} \ \frac{rad}{s} = \frac{\not 60 \ 20 \ 2 \ \pi }{\not 60} \ \frac{rad}{s} }}$

$\large\boxed {\bold { \omega_{0} =40\ \pi \ \frac{rad}{s} }}$

La velocidad angular inicial es de 20 π radianes por segundo

$\boxed {\bold { \omega_{f} = 700 \ \frac{\not rev}{\not min} \ . \ \left(\frac{2 \ \pi }{1 \ \not rev}\right) \ . \ \left(\frac{1 \ \not min }{60 \ s}\right) = \frac{700 \ \ 2\pi }{60} \ \frac{rad}{s} }}$

$\boxed {\bold { \omega_{f} = \frac{700 \ 2\ \pi }{60} \ \frac{rad}{s} = \frac{\not 20 \ 35 \ 2 \ \pi }{\not 20 \ 3} \ \frac{rad}{s} }}$

$\large\boxed {\bold { \omega_{f} =\frac{70}{3} \ \pi \ \frac{rad}{s} }}$

La velocidad angular final es de 70/3 π radianes por segundo

Hallamos el tiempo empleado

Empleamos la siguiente ecuación

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega_{f} -\omega_0}{t}}}$

Donde    

$\bold { \alpha } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Aceleraci\'on }$

$\bold { \omega_{0} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Inicial }$

$\bold { \omega_{f} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Final }$ 

$\bold { t }\ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Tiempo transcurrido}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega_{f} -\omega_0}{t}}}$

$\large\boxed{\bold{\alpha \ . \ t = \omega_{f} -\omega_{0} } }$

$\large\boxed{\bold{t=\dfrac{\omega_{f} -\omega_0}{ \alpha } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\large\boxed{\bold{t=\dfrac{ \frac{70 \ \pi }{3} \ \frac{rad}{s} -\ 40 \ \pi \ \frac{rad}{s} }{ - 1.5 \ \frac{rad}{s^{2} } } }}$

$\large\boxed{\bold{t=\dfrac{ \frac{70 }{3} \ \pi \ \frac{rad}{s} -\ \frac{120}{3} \ \pi \ \frac{rad}{s} }{ - 1.5 \ \frac{rad}{s^{2} } } }}$

$\large\boxed{\bold{t=\dfrac{ - \frac{50 }{3} \ \pi \ \frac{\not rad}{s} }{ - 1.5 \ \frac{\not rad}{s^{\not 2} } } }}$

$\large\boxed{\bold{t=\dfrac{ \frac{50 }{3} \ \pi }{ 1.5 } \ s }}$

$\boxed{\bold{t=\dfrac{ 50 }{ 3 } \ \pi \ . \ \frac{1}{1.5} \ s }}$

$\boxed{\bold{t=\dfrac{ 50 \ \pi }{ 3 } \ . \ \frac{1}{1.5} \ s }}$

$\boxed{\bold{t=\dfrac{ 50 \ \pi }{ 4.5 } \ s }}$

$\large\boxed{\bold{t \approx 34.90\ s }}$

El tiempo empleado es de aproximadamente 34.90 segundos