Question

Entre todos los profesores de una escuela se desea comprar una fotocopiadora (costo: 280 dólares); pero como se incorporan dos profesores, entonces ahora cada uno debe dar 7 dólares menos. Determina el número de profesores.

Answer 1

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Sea:

• "x" el número inicial de profesores
• "y" el precio que debe pagar cada uno

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Entonces, si multiplicamos el precio que cada uno paga por el número de profesores, obtenemos el precio total, es decir, 280 dólares. Expresamos la primera ecuación:

xy = 280 ........ [Ecuación 1]

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Ahora:

• Si se incorporan 2 profesores, ahora habrían x + 2 profesores.
• Luego, como pagan 7 dólares menos cada uno, ahora pagarían y - 7.

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Nuevamente, este producto es igual a 280 dólares, el precio de la fotocopiadora.

(x + 2)(y - 7) = 280 ........ [Ecuación 2]

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Calculamos el producto:

$\mathsf{xy - 7x + 2y - 14 = 280}\\\\\mathsf{xy - 7x + 2y = 280 + 14}\\\\\mathsf{xy - 7x + 2y = 294}$ ....... [Ecuación 3]

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Ahora, como xy = 280, según la primera ecuación, despejamos "x":

$\mathsf{x = \dfrac{280}{y}}$

Ahora, reemplazamos este valor de "x" en la ecuación 3:

$\mathsf{xy - 7x + 2y = 294}$

$\mathsf{\dfrac{280}{y}(y) - 7(\dfrac{280}{y}) + 2y = 294}$

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Resolvemos:

$\mathsf{280 - \dfrac{1960}{y} + 2y = 294}$

Luego, para eliminar la fracción, multiplicamos por "y" toda la ecuación:

$\mathsf{280 - \dfrac{1960}{y} + 2y = 294}$

$\mathsf{280(y) - \dfrac{1960(y)}{y} + 2y(y) = 294(y)}$

$\mathsf{280y - 1960 + 2y^{2} = 294y}$

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Ordenamos e igualamos a 0:

$\mathsf{2y^{2} + 280y - 294y - 1960 = 0}$

$\mathsf{2y^{2} - 14y - 1960 = 0}$

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Simplificamos la ecuación, dividimos entre 2:

$\mathsf{y^{2} - 7y - 980 = 0}$

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Esta es una ecuación cuadrática. Factorizamos. Buscamos dos números que multiplicados den -980, y sumados den -7. Luego, agrupamos:

$\mathsf{(y - 35)(y + 28) = 0}$

$\mathsf{y - 35 = 0}$ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ $\mathsf{y + 28 = 0}$

‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎‎  $\boxed{\mathsf{y = 35}}$ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎  $\mathsf{y = -28}$

Como estamos hallando precio, consideramos el valor positivo: 35.

→  Inicialmente, cada uno tenía que pagar 35 dólares.

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Reemplazamos este valor en la ecuación 1, para hallar "x":

    xy = 280

x(35) = 280

     x = 280 ÷ 35

   x = 8

Los profesores de la escuela eran 8. Pero, como se incorporaron 2 más, harían un total de 10.

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Respuesta. El número actual de profesores es 10.

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