Question

✅AYUDADME DOY COR0NITA PLIS <3

Answer 1

Respuesta:

→ [b/a] = T⁻²

Explicación:

Tema: ANÁLISIS DIMENSIONAL.

Recuerda lo siguiente.

$\section*{AN\'ALISIS DIMENSIONAL}$

• En Análisis dimensional no existe sumas ni restas, cuando veamos una suma y/o resta usamos convencionalmente el Principio de homogeneidad.
• Para establecer una fórmula dimensional de cualquier magnitud le debemos colocar entre corchetes.

• En ejercicios de Análisis dimensional usamos mucho Leyes de exponentes.
• [x] se lee: Fórmula dimensional de "x".

$\mathbb{PRINCIPO\:DE\:HOMOGENEIDAD}$

Nos dice que "Si toda ecuación es dimensionalmente correcta y homogénea, tiene por propiedad que todos los términos tienen misma fórmula dimensional".

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$\textsc{Ejercicio}$

→ En la siguiente expresión.

$\text{v}=\dfrac{\text{a}}{\text{t}^{3}}+\dfrac{\text{b + h}}{\text{c}}$

v: velocidad; t: tiempo y h: altura. Determine las dimensionales de "b/a".

$\textsc{Resolviendo el ejercicio}$

• Como sabemos, en Análisis dimensional no existen sumas y restas, por lo que usamos el Principio de homogeneidad en b + h/c ⇒ b/c = h/c y a/t³ = b/c = h/c.

$\text{v}=\dfrac{\text{a}}{\text{t}^{3}} = \dfrac{\text{b}}{\text{c}}=\dfrac{\text{h}}{\text{c}}$

• Reemplazamos las magnitudes y le colocamos corchetes.

$[\text{Velocidad}]=\dfrac{[\text{a}]}{[\text{Tiempo}]^{3}} = \dfrac{[\text{b}]}{[\text{c}]}=\dfrac{[\text{Altura}]}{[\text{c}]}$

• [Velocidad] = LT⁻¹
• [Tiempo] = T

• La fórmula dimensional de altura es la misma fórmula dimensional que la longitud. ⇒ [Altura] = L

$\text{LT}^{-1}=\dfrac{[\text{a}]}{\text{T}^{3}} = \dfrac{[\text{b}]}{[\text{c}]}=\dfrac{\text{L}}{[\text{c}]}$

• Lo primero que haremos será igualar L/[c] con LT⁻¹.

$\text{LT}^{-1}=\dfrac{\text{L}}{[\text{c}]}$

• Como [c] está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar.

$[\text{c}]\times\text{LT}^{-1}=\text{L}$

• Como queremos que [c] esté sola mandamos a LT⁻¹ a dividir.

$[\text{c}]=\dfrac{\text{L}}{\text{LT}^{-1}}$

• Una fórmula dimensional nunca debe quedar como fracción, por lo que el denominador pasa a multiplicar al numerador y los signos de los exponentes se cambian.

$[\text{c}]=\text{L}\times\text{L}^{-1}\text{T}^{1}$

• Utilizamos Multiplicación de bases iguales L × L⁻¹ = L⁽¹⁻¹⁾ = L° ⇒ 1

$[\text{c}]=1\times\text{T}=\text{T}$

• Lo segundo que haremos será hallar [b/a] igualando [a]/T³ con [b]/[c].

$\dfrac{[\text{a}]}{\text{T}^{3}} =\dfrac{[\text{b}]}{[\text{c}]}$

• Como ya sabemos el valor de [c] = T lo reemplazamos.

$\dfrac{[\text{a}]}{\text{T}^{3}} =\dfrac{[\text{b}]}{\text{T}}$

• Utilizamos Multiplicación en aspa.

$[\text{a}]\times\text{T}=[\text{b}]\times\text{T}^{3}$

• Como queremos hallar [b/a] el [a] que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y el T³ que está multiplicando a [b] pasa al otro lado a dividir.

$\dfrac{\text{T}}{\text{T}^{3}} =\dfrac{[\text{b}]}{[\text{a}]}$

• Utilizamos División de bases iguales T/T³ = T⁽¹⁻³⁾ = T⁻²

∴  $\dfrac{[\text{b}]}{[\text{a}]} =\text{T}^{-2}$