Question

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH, y la bisectriz interior BF del ángulo HBC. Si AB = 20 y BC = 21, calcular la longitud del segmento FC.
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Answer 1

La longitud de FC = 9.

La situación planteada se adjunta en la imagen.

Aplicando el Teorema de Pitágoras en ΔABC:

$AC = \sqrt{AB^2+BC^2}$

$AC = \sqrt{20^2+21^2}$

$\boxed{AC = 29 }$

Se sabe que ΔABC y ΔHBC son semejantes por tener dos ángulos respectivamente iguales, ya que:

• ∡C Ángulo común
• ∡BHC = ∡ABC = 90°

De esta semejanza podemos plantear que:

$\boxed{\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{HB}{BC}=\dfrac{HC}{BC}}$

$\dfrac{21}{29} = \dfrac{HB}{20}=\dfrac{HC}{21}$

$HB = \dfrac{21\cdot 20}{29}$

$\boxed{HB = \dfrac{420}{29}}$

$HC = \dfrac{21\cdot 21}{29}$

$\boxed{HC = \dfrac{441}{29}}$

Si denotamos FC = x  entonces podemos escribir:

$HF = \dfrac{441}{29}-x$

Aplicando el TEOREMA DE LA BISECTRIZ en el triángulo ΔHBC se tiene que:

$\dfrac{HB}{BC} = \dfrac{HF}{FC}$

$\dfrac{\frac{420}{29}}{21}\:=\:\dfrac{\:\frac{441}{29}-x}{x}$

$\dfrac{\frac{420}{29}}{21}=\dfrac{441-29x}{29x}$

Multiplicando cruzado:

$\dfrac{420}{29}\cdot \:29x=21\left(441-29x\right)$

$420x=21\left(441-29x\right)$

$420x=9261-609x$

$1029x=9261$

$x= \dfrac{9261}{1029}$

$x = 9$

Luego la longitud de FC = 9.