Question

Se ha determinado que la velocidad de un fluido se puede expresar
por la ecuación, Donde: es la presión manométrica del fluido e "" es la altura del nivel
del fluido. Si la ecuación es dimensionalmente correcta, las magnitudes
físicas de A y B, respectivamente, son:
a) densidad y aceleración
b) densidad y velocidad
c) presión y aceleración
d)fuerza y densidad
e) presión y fuerza

Answer 1

Respuesta:

a) Densidad y aceleración.

Explicación:

Tema: Análisis dimensional.

Recordar lo siguiente.

$\section*{An\'alisis dimensional}$

• Para poder expresar toda magnitud su fórmula dimensional siempre se le debe colocar entre corchetes.
• En ejercicios de Análisis dimensional usamos mucho Leyes de exponentes.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

$\bold{\textsf{Resolviendo el ejercicio}}$

→ Se ha determinado que la velocidad de un fluido se puede expresar por la ecuación

$\text{v}=(\dfrac{\text{2Pm}}{\text{A}} -\text{2BY})^{\dfrac{1}{2} }$Presión

Donde Pm es la presión manométrica del fluido e "Y" es la altura del nivel del fluido. Si la ecuación es dimensionalmente correcta, las magnitudes físicas de A y B, respectivamente son:

• Por el Principio de homogeneidad que dice "Toda ecuación que sea dimensionalmente correcta y homogénea tiene por propiedad el que sus términos poseen igual fórmula dimensional". Gracias al Principio de homogeneidad podemos igualar los términos.

$\text{v}=(\dfrac{\text{2Pm}}{\text{A}})^{\dfrac{1}{2} }$ $\longrightarrow \text{Ecuaci\'on uno}$

$\text{v}=(\text{2BY})^{\dfrac{1}{2} }$ $\longrightarrow \text{Ecuaci\'on dos}$

• Ahora tenemos dos ecuaciones.
• Colocamos a todos corchetes para indicar que queremos la fórmula dimensional de cada uno de ellos.

$[\text{v}]=(\dfrac{[2]\times[\text{Pm}]}{[\text{A}]} )^{\dfrac{1}{2} }$

$[\text{v}]=([2]\times[\text{B][Y}])\dfrac{1}{2}$

Primera ecuación.

• Todo número, exponente, fracción es adimensional eso quiere decir que la fórmula dimensional de un número es igual a la unidad. [2] = 1

• [Velocidad] = LT⁻¹
• La Presión manométrica es igual como decir Presión. [Presión] = ML⁻¹T⁻²

$\text{LT}^{-1} =(\dfrac{\text{ML}^{-1}\text{T}^{-2} }{[\text{A}]} )^{\dfrac{1}{2} }$

• El 1/2 multiplica a todo dentro del paréntesis.

$\text{LT}^{-1} =\dfrac{(\text{ML}^{-1} \text{T}^{-2} )\frac{1}{2} }{[\text{A}]\frac{1}{2} }$

• Despejamos [A].

$[\text{A}]\frac{1}{2} =\dfrac{\text{M}^{1/2} \text{L}^{-1.\frac{1}{2} }\text{T}^{-2.\frac{1}{2}}}{\text{LT}^{-1} }$

• Multiplicamos los exponentes.

$[\text{A}]^ \frac{1}{2} =\dfrac{\text{M}^{\frac{1}{2}} \text{L}^{\frac{-1}{2}}\text{T}^{-1} }{\text{LT}^{-1} }$

• En Análisis dimensional una fórmula dimensional nunca debe quedar con una fracción, por eso el denominador pasa a multiplicar al numerador y los signos de los exponentes se cambian a su contrario.

$[\text{A} ]^{\frac{1}{2} } = \text{M}^{\frac{1}{2} } \text{L}^{\frac{-1}{2} -1}$

• Restamos -1/2 -1 = -3/2

$[\text{A}]^\frac{1}{2} =\text{M}^{\frac{1}{2}} \text{L}^{\frac{-3}{2} }$  $\longrightarrow [\text{A}]=\text{ML}^{-3}$ ⇒ Densidad.

Segunda ecuación.

• Por el Principio de Homogeneidad podemos decir que la primera ecuación es igual a la segunda ecuación.

$\dfrac{[2]\times[\text{Pm}]}{[\text{A}]}=[2]\times[\text{B}][\text{Y}]$

• Reemplazando las fórmulas dimensionales.

$\dfrac{\text{ML}^{-1}\text{T}^{-2} }{\text{ML}^{-3} } =[\text{B}]\times\text{L}$

• Como la L del lado derecho está multiplicando pasa al otro lado porque queremos a [B] solo.

$\dfrac{\text{ML}^{-1}\text{T}^{-2} }{\text{ML}^{-3}\text{L} } =[\text{B}]$

• Utilizamos Multiplicación de bases iguales en L⁻³ × L = L⁽⁻³⁺¹⁾ = L⁻²

$\dfrac{\text{ML}^{-1}\text{T}^{-2} }{\text{ML}^{-2}} =[\text{B}]$

• Como hay M en el numerador y denominador se van, ya que tienen mismo exponente.
• En Análisis dimensional nunca una fórmula dimensional debe quedar como fracción, por lo que el denominador pasa a multiplicar al numerador y los signos de los exponentes cambian a su opuesto.

${\text{L}^{-1}\text{T}^{-2} \text{L}^{2} } =[\text{B}]$

• Utilizamos Multiplicación de bases iguales en L⁻¹ × L² = L⁽⁻¹⁺²⁾ = L¹ ⇒ L

${\text{L}^{}\text{T}^{-2} } =[\text{B}]$ $\longrightarrow$ Aceleración.