Respuestas
Respuesta:
La raiz cuadrada de cualquier primo es un número irracional
Explicación paso a paso:
La base principal de la prueba rigurosa es el Teorema Fundamental de la Aritmética que afirma que solo hay una manera de factorizar un número entero en factores primos.
Sea p cualquier número primo, probemos que p–√ es un irracional. La prueba se realiza utilizando reducción al absurdo.
Supongamos que p–√ es un racional, digamos p–√=ab, con a,b enteros que no tienen factores primos en común.
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, tenemos p=a2b2 o bien b2p=a2. De lo cual se sigue que b divide a a2, es decir todos los factores primos de b están contenidos en los factores primos de a2.
Sin embargo, por hipótesis, a, b no tienen factores primos en común, de lo cual se sigue que a2 y b no tienen factores primos en común. Contradiciendo el hecho de que b divide a a2.
Por lo tanto p–√ es un irracional.