Question

La distancia entre las ciudades de Cajamarca y Lima, es de 811 Km. Un autobús sale de Cajamarca hacia Lima con una velocidad de 58 Km/h. al mismo tiempo, sale otro autobús de Lima hacia Cajamarca con una velocidad de 60 Km/h. Suponiendo que su velocidad es constante, calcula tiempo que tardan en encontrarse, y la distancia que ha recorrido cada uno hasta el momento del encuentro.

Answer 1

Ambos autobuses se encontrarán en 6 horas 52 minutos y 22 segundos

El Autobús 1 recorrió desde la ciudad A hasta el encuentro 398.63 kilómetros

El Autobús 2 recorrió desde la ciudad B hasta el encuentro 412.37 kilómetros

Se trata de un problema de móviles que marchan en sentidos opuestos

Dado que el problema no dice otra cosa los dos móviles se desplazan en trayectoria recta, a velocidad constante y con aceleración nula. Eso implica recorrer distancias iguales en tiempos iguales (MRU)

Donde

Dos autobuses se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes de 58 km/h y 60 km/h, respectivamente.

Donde el Autobús 1 sale de la ciudad A hacia la B y el Autobús 2 de la B hacia la A

Se desea saber el tiempo de encuentro si entre las dos ciudades hay 811 km de distancia. Y donde ambos móviles partieron simultáneamente o a la misma hora

Y que distancia ha recorrido cada uno de los móviles hasta el momento del encuentro

Solución

Calculo del tiempo de encuentro

El instante de tiempo en que los dos móviles están separados 811 km, lo llamaremos t = 0, y  definiremos el origen en el punto donde se encuentra el Autobús 1 en t = 0 de este modo:

Luego

$\large\boxed {\bold { x_{0\ AUTOBUS \ 1} = 0 \ , \ \ \ x_{0 \ AUTOBUS \ 2} = 811 \ km }}$

$\large\boxed {\bold { V_{\ AUTOBUS \ 1} = 58\ km/h \ , \ \ \ V_{\ AUTOBUS \ 2} = 60 \ km/h }}$

Entonces, en cualquier instante posterior de tiempo, las posiciones o trayectorias correspondientes serán:

$\boxed {\bold { x_{\ AUTOBUS \ 1} =58 \ km / h \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{AUTOBIS \ 2 } = 811 \ km -60 \ km/h \ . \ t }}$

Como el tiempo de encuentro será el mismo para ambos, igualamos las ecuaciones

$\large\boxed {\bold { x_{\ AUTOBUS \ 1} = x_{\ AUTOBUS\ 2} }}$

$\boxed {\bold {58 \ km/h \ . \ t = 811 \ km - 60 \ km/h \ . \ t }}$

$\boxed {\bold {58 \ km/h \ . \ t +60 \ km/h \ . \ t = 811 \ km }}$

$\boxed {\bold {118 \ km/h \ . \ t = 811 \ km }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{811 \ \not km }{118 \ \not km/h} }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{811 }{118 } \ h }}$

$\large\textsf{Convertimos la fracci\'on a un n\'umero mixto }$

Para ello dividimos el numerador entre el denominador. El cociente será la parte entera del número, y el residuo será el numerador de la fracción restante, que tendrá el mismo denominador que la fracción original.  

Al dividir 811 entre 118 se obtiene 6 y sobran 103. Es decir el cociente es 6 y el resto es 103

Obteniendo

$\large\boxed {\bold { t =6 \ \frac{103 }{ 118 } \ h }}$

$\large\textsf{Donde 6 son las horas }$

$\large\textsf{Los minutos y segundos ser\'an } \bold{\frac{103}{118} \ hora }$

$\bold{\frac{103}{118} \ hora \ . \ 60 = \frac{3090}{59} }$

$\large\textsf{Convertimos esta fracci\'on a un n\'umero mixto }$

$\bold{ \frac{3090}{59} \ minutos = 52\ \frac{22}{59}\ minutos }$

$\large\textsf{Donde 52 son los minutos }$

$\large\textsf{Tomamos la fracci\'on para hallar los segundos }$

$\bold{\frac{22}{59} \ minutos \ . \ 60 = \frac{1320}{59}\ segundos }$

$\large\textsf{Convertimos esta fracci\'on a un n\'umero mixto }$

$\bold{ \frac{1320}{59} \ segundos = 22\ \frac{22}{59}\ segundos }$

$\large\textsf{Donde tomamos 22 para los segundos }$

Ambos autobuses se encontrarán en 6 horas 52 minutos y 22 segundos

Calculamos la distancia recorrida por el Autobús 1 que salió de la ciudad A hacia la B hasta el tiempo de encuentro

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AITOBUS \ 1 } = Velocidad_{\ AUTOBUS \ 1} \ . \ Tiempo}}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS \ 1} =58 \ \frac{km}{\not h} \ . \ \frac{811}{118} \ \not h }}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS \ 1} = \frac{47038}{118} \ km }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS \ 1} = 398.63\ km }}$

Calculamos la distancia recorrida por el Autobús 2 que salió de la ciudad B hacia la A hasta el tiempo de encuentro

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS \ 2} = Velocidad_{\ AUTOBUS \ 2} \ . \ Tiempo}}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS \ 2} =60 \ \frac{km}{\not h} \ . \ \frac{811}{118} \ \not h }}$

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS \ 2} = \frac{48660}{118} \ km }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ AUTOBUS\ 2} =412.37 \ km }}$

Si sumamos las distancias recorridas por ambos móviles obtendremos la distancia que los separaba al principio

$\boxed {\bold {Distancia_{\ AITOBUS \ 1} + Distancia_{\ AUTOBUS \ 2} = 811 \ km }}$

$\boxed {\bold {398.63 \ km + 412.37\ km = 811\ km }}$

$\boxed {\bold {811 \ km = 811 \ km }}$