Question

Por favor, es urgente Calcular el siguiente límite al infinito (factorizar y racionalizar) (x^2-5x+3)/√(x^4-2x^2-1)

Answer 1

Para poder resolver este ejercicio de límites que tienden hacia el infinito necesitamos recordar la siguiente propiedad.

                                                        $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{ \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{k}{x^n}=0}}}$

Siendo "k" y "n" constantes, entonces pasaremos a resolver el ejercicio

                                              $\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{x^2-5x+3}{\sqrt{x^4-2x^2-1}}\right)}$

                 Dividiremos tanto al numerador y al denominado entre x²

                                            $\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{\dfrac{x^2-5x+3}{\boldsymbol{x^2}}}{\dfrac{\sqrt{x^4-2x^2-1}}{\boldsymbol{x^2}}}\right)}$

                                         $\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{5x}{x^2}+\dfrac{3}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}\cdot \sqrt{x^4-2x^2-1}}{}}\right)}$

                                          Pero recordemos que  

                                                       $\mathsf{\dfrac{1}{x^2} =\sqrt{\dfrac{1}{x^4}}}$

                                        Reemplazamos en el límite

                                      $\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{\dfrac{x^2\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}{x^2\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}-\dfrac{5x\!\!\!\!\frac{\hspace{0.2cm}}{~}}{x^{2\!\!\!\!\frac{\hspace{0.2cm}}{~}}}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{1}{x^4}}\cdot \sqrt{x^4-2x^2-1}}{}}\right)}$

                                          $\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{x^4-2x^2-1}{x^4}}}}{}}\right)}$

                                        $\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}-\dfrac{2x^2}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}}}{}}\right)}$

                                       $\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{x^4\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}{x^4\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}-\dfrac{2x^2\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}{x^{4\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.2cm}}{~}^2}}-\dfrac{1}{x^4}}}}{}}\right)}$

                                          $\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{1-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}}}}{}}\right)}$

                          Aplicamos la propiedad que mencionamos arriba

                                     $\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\left(\not\!\!\dfrac{5}{x}\right)^0+\left(\not \!\!\dfrac{3}{x^2}\right)^0}{\sqrt{1-\left(\not\!\!\dfrac{2}{x^2}\right)^0-\left(\not\!\!\dfrac{1}{x^4}\right)^0}}}{}}\right)}$

                                                    $\mathrm{\left(\dfrac{1-0+0}{\sqrt{1-0-0}}}{}}\right)}$

                                                             $\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{1}}}$

                                                               $\mathsf{1}$

En conclusión

                                       $\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{x^2-5x+3}{\sqrt{x^4-2x^2-1}}\right)=1}}}}$

                                                                                                            〆ʀᴏɢʜᴇʀ ✌