Question

Ayuda!!! Pasar ecuación en forma rectangular, a su forma polar, anexo foto del ejercicio.
$( x^{2} + y^{2} )^3 = 16 x^{2} y^{2} ( x^{2} - y^{2} )^2$
El resultado debe ser
r = +- csc 4 Θ

Answer 1

Espero os ayude en algo esto lo hice rápido porque tengo una tesis que asesorar.

Answer 2

Bueno tu ejercicio es el siguiente...

$( x^{2}+ y^{2} ) ^{3} =16 x^{2} y^{2} ( x^{2} - y^{2} ) ^{2}$

Como recordarás..

$x=rcos( \beta ) \\ y=rsin( \beta )$

Además...vamos a usar algunas algunas propiedades

$sin(2x)=sin(x+x)=sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x)=2sin(x)cos(x) \\ \\ cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=... \\ ...=cos ^{2}(x) -sin ^{2} (x)$

además la igualdad del radio

$r^{2} = x^{2} + y^{2}$
Listo veamos

$( x^{2}+ y^{2} ) ^{3} =16 x^{2} y^{2} ( x^{2} - y^{2} ) ^{2} \\ ( r^{2} ) ^{3} =16(rcos( \beta )) ^{2} (rsin( \beta ))^{2}( (rcos( \beta ))^{2}- (rsin( \beta ))^{2} ) ^{2} \\ r^{6} =16( r^{2}cos ^{2}( \beta ) )( r^{2}sin ^{2}( \beta ) )( (r^{2}cos ^{2}( \beta ) -( r^{2}sin ^{2}(x) ) ) ^{2} \\ r^{6} =( r^{4} )16(cos ^{2}( \beta ) )( sin^{2}( \beta) )( ( r^{2} )(cos ^{2}( \beta )-sin ^{2}(x) ) ) ^{2} \\ r^{6} = r^{4} (4)(4cos^{2}( \beta )sin^{2}( \beta ) )( r^{2}(cos(2 \beta )) )^{2}$

Mira que solo hemos descompuesto el 16 en la multiplicación (4)(4)..y hemos agrupado a nuestra conveniencia...para forman el seno del ángulo doble..lo mismo para formar el coseno de ángulo doble...

$r^{6} = r^{4} (4)(2cos( \beta )sin( \beta ) ) ^{2} r^{4} ((cos(2 \beta )) )^{2} \\ r^{6} = r^{8} 4(sin(2 \beta )) ^{2} ( cos(2 \beta ) )^{2} \\ r^{6} = r^{8} (2sin(2 \beta )cos(2 \beta )) ^{2} \\ r^{6} = r^{8} sin ^{2} (4 \beta ) \\ \frac{1}{sin ^{2}(4 \beta ) } = \frac{ r^{8} }{r^{6}} \\ \\ r^{2} =csc ^{2} (4 \beta ) \\ \sqrt{ r^{2} } = \sqrt{csc ^{2}(4 \beta ) } \\ |r|=csc(4 \beta ) \\ \\ r=+csc(4 \beta ) \\ r=-csc(4 \beta )$

Y eso sería todo...

Mira que hemos ido jugando con los números....es decir con el 16 solo los descompusimos en dos factores ...para poder armar el seno de la suma...y al cuatro...pudiste meterle dentro del cuadrado....y pudimos formar el seno de la suma de nuevo...espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas

Nota: es un poco complicado de verle...pero el saber jugar con los números, manipularlos a tu antojo..para aplicar otras cosas..es lo que te va a ayudar a hacer éste tipo de ejercicios..