Question

Hola, saben como se realiza esta demostración?

Answer 1

Parte por el lado izquierdo, desarrollando el cuadrado, te quedará una expresion con tan^2 y sec^2, recuerda que existe una identidad trigonometrica que relaciona esas dos funciones.Luego, expresa todo con sen y cos,menos un 1 que andara dando vueltas por ahi.... te quedaran fracciones con cos^2,despues juntas todo en una fraccion con denominador cos^2. En el numerador y denominador podras usar la identidad sen^2+cos^2=1 y con un poco de matraca, llegaras al lado derecho c:

Answer 2

El ejercicio es el siguiente 

$(sec(x)+tan(x)) ^{2} = \frac{1+sin(x)}{1-sin(x)}$

Bueno primero vamos a desarrollar ese binomio al cuadrado...

$sec ^{2} (x)+2sec(x)tan(x)+ tan^{2} (x)$

Salimos de la izquierda e intentaremos demostrar el derecho...

Vamos a usar las razones trigonométricas, el propósito es llevar  cosas o términos que ya conozcamos mejor...como senos y coseno

$sec ^{2} (x)= \frac{1}{cos ^{2}(x) } \\ \\ tan ^{2} (x)= \frac{sin ^{2} (x)}{cos ^{2}(x) }$

éstas razones funcionan sin los cuadrados por supuesto...entonces tenemos

$sec ^{2} (x)+2sec(x)tan(x)+ tan^{2} (x)= \frac{1}{cos ^{2}(x) } +2( \frac{1}{cos(x)} )( \frac{sin(x)}{cos(x)} )+ \frac{sin ^{2}(x) }{cos ^{2}(x) } \\ \\ \frac{1}{cos ^{2}(x) } + \frac{2sin(x)}{ cos^{2}(x) } + \frac{sin ^{2}(x) }{cos ^{2}(x) }$

Ahora éstas son fracciones homogéneas...entonces solo sumamos los denominadores...pero además vamos a usar la siguiente identidad

$sin ^{2} (x)+cos ^{2} (x)=1$

Entonces tenemos

$\frac{1+2sin(x)+ sin^{2}(x) }{cos ^{2}(x) } = \frac{(sin^{2}(x)+cos ^{2}(x))+2sin(x)+sin ^{2}(x) }{cos ^{2} (x)} =... \\ \\ ...= \frac{2sin ^{2}(x)+2sin(x)+cos ^{2} }{cos ^{2}(x) } = \frac{2sin(x)(sin(x)+1)+(1-sin ^{2}(x) )}{1-sin^{2}(x) } =... \\ \\ ...= \frac{2sin(x)(sin(x)+1)+(1+sin(x))(1-sin(x))}{1-sin ^{2}(x) } = \frac{(1+sin(x))(2sin(x)+(1-sin(x)))}{(1-sin(x))(1+sin(x))} \\ \\ \frac{2sin(x)+1-sin(x)}{1-sin(x)} = \frac{1+sin(x)}{1-sin(x)}$

Mira que solo hemos jugado con la anterior ecuación...y por ahí uno que otro factor común....para simplificar el denominador...

Y eso sería espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas..

Nota: hay otras identidades que nos podría facilitar muchísimo más el camino...pero saberlo hacer usando pocas herramientas...es muchísimo mejor..porque no lo haces tan mecánicamente...si no analizando que es lo que necesitas...