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Práctica 4
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: BINOMIAL, POISSON Y NORMAL
Objetivos
Seleccionar la distribución de probabilidad para modelizar un experimento aleatorio
Calcular probabilidades de las distribuciones Binomial, Poisson y Normal
Calcular cuantiles
Generar valores aleatorios de una distribución determinada.
Introducción
En la teoría de la probabilidad existen muchos modelos teóricos que resultan de utilidad en una gran variedad de situaciones prácticas, ya que sirven para modelizar gran número de situaciones reales. Estas distribuciones o modelos de probabilidad se dividen en dos grandes grupos dependiendo del tipo de la variable que modelizan. Así, distinguimos entre distribuciones de probabilidad discretas, si la variable aleatoria que modelizan es de naturaleza discreta y distribuciones de probabilidad continuas, cuando la variable aleatoria es continua.
Existen muchas distribuciones de probabilidad pero, dado el carácter introductorio de esta práctica, nos limitaremos a estudiar la distribución binomial y la distribución de Poisson como ejemplos de distribuciones discretas y la distribución Normal para ilustrar las distribuciones continuas.
Función masa de probabilidad
Una variable aleatoria no está perfectamente definida si no se conocen los valores que puede tomar (recorrido), pero dichos valores son impredecibles. Puesto que el comportamiento de una variable aleatoria está gobernado por el azar, debemos determinar dicho comportamiento en términos de probabilidades. Para ello se utilizan dos funciones: la Función Masa de Probabilidad y la Función de Distribución.
La función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una función que a cada valor posible de dicha v.a. le asigna una probabilidad. Así en los ejemplos:
Ejemplo. La v.a. X = “Cara superior de una moneda ” puede tomar los valores X={1, 0} con probabilidades P(X)={1/2, 1/2}. Así, la probabilidad de que la v.a.
X tome el valor 1, que se denota por P[X=1], vale 1/2 (P[X=1]=1/2) y que
X tome el valor 0, que se denota por, P[X=0], vale 1/2 (P[X=0]=1/2).
Ejemplo. La v.a. X = “Máximo de los dos números obtenidos” puede tomar los valores X={1, 2, 3, 4, 5, 6} con probabilidades P(X)={1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36, 11/36}. Así, por ejemplo, P[X=2]=3/36 o P[X=6]=11/36.
la Función Masa de Probabilidad de la variable aleatoria discreta X, se denota por pi, y se define como la probabilidad de que la v.a. X tome un valor xi, pi=P[X=xi], si verifica las siguientes propiedades:
exp4-1
pi ≥ 0 ∀i
En una variable aleatoria continua no tiene sentido determinar una función, como en las vv.aa. discretas, que asigne a cada valor posible de dicha v.a. una probabilidad; puesto que la v.a. continua puede tomar infinitos valores y la probabilidad de que la v.a. tome un valor determinado vale cero. Por ello, en el caso continuo definiremos una función que nos permita calcular la probabilidad de que la v.a. esté comprendida en un intervalo de valores específico. Dicha función recibe el nombre de Función de Densidad de probabilidad, y se denota por f(x).
La Función de Densidad de probabilidad, es una función definida para todos los números reales tal que satisface las siguientes condiciones:
f(x) ≥ 0 (no negativa)∀x
exp4-2 (El área comprendida entre la gráfica de f y el eje x es igual a 1)
exp4-3 (Para cualquier valor real entre los números a y b, P[a < X < b] representa el área comprendida entre la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x=a y x=b).
Función de distribución
Se define la Función de Distribución de la variable aleatoria X, y se denota por F{X}, como la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual que x
Explicación paso a paso: