Question

Indique el menor valor que puede tomar "k" para que el sistema sea incompatible.

(k + 3)x + 2y = 5

2x + (k - 3)y = 7

Answer 1

El menor valor que k puede tomar para que el sistema sea incompatible es $-\sqrt{13}$

Explicación paso a paso:

Si el sistema no puede ser resuelto utilizando la regla de Cramer debido a que el determinante de la matriz de coeficientes es nulo, el sistema será incompatible o compatible indeterminado. Por lo que vamos a empezar por ese paso.

$det \left[\begin{array}{cc}k+3&2\\2&k-3\end{array}\right] =(k+3)(k-3)-2.2=0\\\\k^2-9-4=0\\\\k^2-13=0\\\\k=\sqrt{13}, k=-\sqrt{13}$

Con esos valores la matriz de coeficientes es linealmente dependiente, si la matriz ampliada es linealmente independiente, el sistema será incompatible. Para ello vamos a aplicar el método de Gauss comenzando con $k=\sqrt{13}$:

$M=\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{13}+3&2&5\\2&\sqrt{13}-3&7\end{array}\right]$

Las filas solo pueden ser linealmente dependientes si representan vectores paralelos, por lo que el producto vectorial tiene que dar 0:

$det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\\sqrt{13}+3&2&5\\2&\sqrt{13}-3&7\end{array}\right] \\\\=i(2.7-5(\sqrt{13}-3))-j((\sqrt{13}+3).7-2.5)+k((\sqrt{13}+3)(\sqrt{13}-3)-2.2)\\\\=i(14-5\sqrt{13}+15)-j(7\sqrt{13}+21-10)+0k$

Y probamos con el otro valor de k:

$det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-\sqrt{13}+3&2&5\\2&-\sqrt{13}-3&7\end{array}\right] \\\\=i(2.7+5\sqrt{13}+15)-j((-\sqrt{13}+3).7-2.5)+k((-\sqrt{13}+3)(-\sqrt{13}-3)-2.2)\\\\=i(14+5\sqrt{13}+15)-j(-7\sqrt{13}+21-10)+0k$

La matriz ampliada es linealmente independiente para los dos valores de k, por lo tanto, el sistema es incompatible para ambos.