Question

Determinar y demostrar el Supremo de los siguientes conjuntos

A) M= {(3 + 2/n ) : n ∈ N}

B) P={1/n + 1/m : m,n ∈ N}

Answer 1

Sea S de un conjunto parcialmente ordenado, el supremo de S, si existe, es el mínimo elemento s ∈ S que es mayor o igual a cada elemento de S. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de S. Denotamos el supremo de un conjunto S como sup(S).

Sea  $S \subseteq \mathbb{R}$ decimos que sup(S)=α si y solo si:

1. α es una cota superior de S
2. Dado cualquier ε > 0,  α - ε no es una cota superior de S.

Espero que no te abrume tanta definición, pero es necesaria para realizar los ejercicios. Comencemos.

A) M= {(3 + 2/n ) : n ∈ N}

Encontremos la cota superior del conjunto. Sabemos que para todo  n ∈ N se cumple que:

$n \ge 1 \ \ \forall n\in\mathbb{N}$

Dividiendo la expresión entre n:

$1 \ge \dfrac{1}{n} \ \ \forall n\in\mathbb{N}$

Multiplicando por 2:

$2\ge \dfrac{2}{n} \ \ \forall n\in\mathbb{N}$

Sumando 3 a ambos lados:

$2+3\ge \dfrac{2}{n} +3\ \ \forall n\in\mathbb{N}$

$5\ge 3+\dfrac{2}{n} \ \ \forall n\in\mathbb{N}$

$\boxed{3+\dfrac{2}{n}\le5 \ \ \forall n\in\mathbb{N}}$

Hemos demostrado que 5 es una cota superior del conjunto. Demostremos ahora que para cualquier ε > 0,  α - ε no es una cota superior de M.

Tomemos un  ε > 0 y α = 5. Sabemos que 5 ∈ M. Luego como 5 - ε < 5, entonces α - ε NO ES UNA COTA SUPERIOR DE M.

CONCLUIMOS ENTONCES que 5 es el supremo de M.

B) P={1/n + 1/m : m,n ∈ N}

Sabemos que para todo n,m ∈ N se cumple que:

n ≥  1          (1)

m ≥ 1         (2)

De donde, dividiendo (1) por n y (2) por m;

$1 \ge \dfrac{1}{n}$

$1 \ge \dfrac{1}{m}$

Sumando ambas expresiones:

$2 \ge \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m}$

$\boxed{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}\le2 \ \ \forall n,m\in\mathbb{N}}$

Hemos demostrado que 2 es una cota superior del conjunto. Demostremos ahora que para cualquier ε > 0,  α - ε no es una cota superior de P.

Tomemos un  ε > 0 y α = 2. Sabemos que 2 ∈ P. Luego como 2 - ε < 2, entonces 2 - ε NO ES UNA COTA SUPERIOR DE P.

CONCLUIMOS ENTONCES que 2 es el supremo de P.