Que se puede afirmar de un sistema lineal cuya matriz de coeficientes tiene un determinante igual a 5?
a. Es completo
b. Es compatible indeterminado
c. Es compatible determinado
d. Es incompatible
Respuestas
Respuesta:
Habíamos visto que una recta en
R
3
puede definirse a través de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Por ejemplo:
r
:
{
x
+
z
=
1
x
–
y
–
z
=
3
Este sistema puede expresarse de un modo sencillo como un producto de matrices, como sigue:
(
1
0
1
1
–
1
–
1
)
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎠
=
(
1
3
)
Donde
A
=
(
1
0
1
1
–
1
–
1
)
∈
R
2
×
3
es la matriz de coeficientes del sistema.
Generalizando, dado un sistema de
m
ecuaciones lineales con
n
incógnitas:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
…
+
a
2
n
x
n
=
b
2
…
…
…
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
…
+
a
m
n
x
n
=
b
m
dicho sistema puede ser expresado mediante un producto de matrices:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
⋮
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b
1
b
2
⋮
b
m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
siendo:
A
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈
R
m
x
n
la matriz de coeficientes del sistema,
X
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
⋮
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈
R
n
x
1
la matriz columna de las incógnitas, y
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b
1
b
2
⋮
b
m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈
R
m
x
1
la columna de los términos independientes.
Por lo tanto, la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales es:
A
X
=
B
Si
B
=
O
, el sistema se llama homogéneo.Habíamos visto que una recta en
R
3
puede definirse a través de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Por ejemplo:
r
:
{
x
+
z
=
1
x
–
y
–
z
=
3
Este sistema puede expresarse de un modo sencillo como un producto de matrices, como sigue:
(
1
0
1
1
–
1
–
1
)
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎠
=
(
1
3
)
Donde
A
=
(
1
0
1
1
–
1
–
1
)
∈
R
2
×
3
es la matriz de coeficientes del sistema.
Generalizando, dado un sistema de
m
ecuaciones lineales con
n
incógnitas:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
…
+
a
2
n
x
n
=
b
2
…
…
…
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
…
+
a
m
n
x
n
=
b
m
dicho sistema puede ser expresado mediante un producto de matrices:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
⋮
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b
1
b
2
⋮
b
m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
siendo:
A
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈
R
m
x
n
la matriz de coeficientes del sistema,
X
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
⋮
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈
R
n
x
1
la matriz columna de las incógnitas, y
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b
1
b
2
⋮
b
m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈
R
m
x
1
la columna de los términos independientes.
Por lo tanto, la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales es:
A
X
=
B
Si
B
=
O
, el sistema se llama homogéneo.Habíamos visto que una recta en
R
3
puede definirse a través de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Por ejemplo:
r
:
{
x
+
z
=
1
x
–
y
–
z
=
3
Este sistema puede expresarse de un modo sencillo como un producto de matrices, como sigue:
(
1
0
1
1
–
1
–
1
)
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎠
=
(
1
3
)
Donde
A
=
(
1
0
1
1
–
1
–
1
)
∈
R
2
×
3
es la matriz de coeficientes del sistema.
Generalizando, dado un sistema de
m
ecuaciones lineales con
n
incógnitas:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
…
+
a
2
n
x
n
=
b
2
…
…
…
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
…
+
a
m
n
x
n
=
b
m
dicho sistema puede ser expresado mediante un producto de matrices:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
⋮
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b
1
b
2
⋮
b
m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
siendo:
A
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈
R
m
x
n
la matriz de coeficientes del sistema,
X
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
⋮
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈
R
n
x
1
la matriz columna de las incógnitas, y
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b
1
b
2
⋮
b
m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈
R
m
x
1
la columna de los términos independientes.
Por lo tanto, la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales es:
A
X
=
B
Si
B
=
O
, el sistema se llama homogéneo.
Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una única solución (sistema compatible determinado), infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado), o bien pueden no admitir solución (sistema incompatible)
Los sistemas homogéneos siempre son compatibles porque admiten al menos la solución trivial
X
=
O
Explicación paso a paso: