Question

2. Desde una ventana a 4 metros de altura, tiro hacia arriba un objeto, de forma que
llega al suelo con una velocidad de 10 m/s.
a) ¿Con qué velocidad lo tiré?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar?
g= 9,8 m/s2​

Answer 1

El objeto describe un movimiento rectiíneo uniformemente acelerado:

$y_f=y_0+v0t+\frac{1}{2}at^2 ~~~~~~~~ (1) \\\\v_f=v_0+at ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Los subíndices indican:

   Inicio: 0

   Arriba del todo: 1

   En el suelo: 2

1º vemos a qué altura llega arriba:

Cuando llegue arriba: $v_1=0 \rightarrow 0=v_0+at_1 \rightarrow t_1=-\frac{v_0}{a}$

Donde $t_1$ es el tiempo que tarda en llegar desde la ventana hasta la altura máxima.

Substituímos en la ecuación (2):

$y_1=y_0 + v_0 \cdot \left(-\frac{v_0}{a} \right) + \frac{1}{2} a \left(-\frac{v_0}{a}\right)^2=y_0-av_0=y_0-\frac{v_0^2}{a}+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{a}=y_0-\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{a}$

La aceleración es $a=-g$. Substituímos:

$y_1=y_0+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g} ~~~~~~~~(3)$

Ahora vamos a ver la situación en el suelo.

En el suelo: $y_2=0 ~ m$ y $v_2 = 10 ~ m/s$

Las ecuaciones (1) y (2) quedan:

$y_2 = y_1 -\frac{1}{2}gt_2^2 ~~~~~~~~~~(4) \\v_2=-gt_2 ~~~~~~~~~~~~~~~~(5)$

Cogemos la ecuación (5): $t_2=-\frac{v_2}{g}=-\frac{-10 ~m/s}{9,8 ~ m/s^2}=1,02 ~ s$

Ahora vamos a la ecuación de (4) y substituímos: $0=y_1-\frac{1}{2}\cdot 9,8 ~ m/s^2 \cdot (1,02 ~ s)^2 \rightarrow y_2 = \frac{1}{2}\cdot 9,8 ~ m/s^2 \cdot (1,02 ~ s)^2 = 5,1 ~ m$

Alcanza una altura máxima de 5,1 m

Ahora cogemos esta altura y vamos a la ecuación (3):

$y_1=y_0+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g} \rightarrow v_0=\sqrt{2g(y_1-y_0)}=\sqrt{2\cdot 9,8 ~m/s^2 \cdot (5,1 ~ m-4~m)}=4,65 ~m/s$

El objeto se tira con una velocidad de 4,65 m/s

Ya hemos calculado $t_2=1,02 ~ s$

Para caluclar $t_1$ cogemos la ecuación $t_1=-\frac{-v_0}{a}=\frac{v_0}{g}=\frac{4,65 ~ m}{9,8 ~m/s^2}=0,47 ~s$

El tiempo total que tarda en llegar:

$t=t_1+t_2= 1,02 ~ s + 0,47 ~ s = 1,49 ~ s$

El objeto tarda 1,49 s en llegar al suelo.