Question

AYUDAAAAAAAAA!
por favor ayúdenme con esta tarea de cálculo

Answer 1

El ejercicio es el siguiente 
$\lim_{x \to \(0} \frac{ \sqrt{3+x}- \sqrt{3} } { \sqrt{x} }$

Primero vamos a ver la grandiosa indeterminación que nos va a quedar, pondremos cara de sorprendidos.... y ahí veremos que podremos hacer para levantarla..

$\lim_{x \to \(0} \frac{ \sqrt{3+x}- \sqrt{3} } { \sqrt{x} } = \frac{ \sqrt{3+0}- \sqrt{3} } { \sqrt{0} }= \frac{0}{0}$

:O¡...ahora ya que sabemos que tipo de indeterminación tenemos...veamos por cual camino optamos: el primer es usar el teorema de L`Hopital pero está muy largo...

El otro es usar las herramientas que nos ofrece el álgebra, la trigonometría, la aritmética...es decir para resolver límites...tienes que saber usar todo lo que sepas propiedades de exponentes...y cuando tenemos raíces..."racionalizar"...que no es más que multiplicar por un número inteligente...no siempre se trata del conjugado...

Entonces aquí vamos a hacer eso..multiplicar por el conjugado y multiplicamos término a término

$\frac{ \sqrt{3+x}- \sqrt{3} } { \sqrt{x} }=\frac{ \sqrt{3+x}- \sqrt{3} } { \sqrt{x} } (\frac{ \sqrt{3+x}+ \sqrt{3} }{\sqrt{3+x}+ \sqrt{3} } )= \frac{(3+x)-(3) }{ \sqrt{x} (\sqrt{3+x}+ \sqrt{3}) } = \frac{x }{ \sqrt{x} (\sqrt{3+x}+ \sqrt{3}) }$

Y ahora usaremos las propiedades de exponentes..

$\sqrt{x} = x^{ \frac{1}{2} } \\ \\ \frac{1}{ x^{n} } = x^{-n} \\ \\ \frac{ a^{m} }{ a^{n} } = a^{m-n}$

Aplicando éstos criterios desarrollemos un poco más lo que dejamos..

$\frac{x }{ \sqrt{x} (\sqrt{3+x}+ \sqrt{3}) }=\frac{x }{ x^{ \frac{1}{2} } (\sqrt{3+x}+ \sqrt{3}) }=\frac{ x^{1- \frac{1}{2} } }{ (\sqrt{3+x}+ \sqrt{3}) }=\frac{ x^{\frac{1}{2} } }{ (\sqrt{3+x}+ \sqrt{3}) }=\frac{ \sqrt{x} }{ (\sqrt{3+x}+ \sqrt{3}) }$

Y ahora si....a esa cosa ya podemos sacarle el límite...:3

$\lim_{x \to \(0} \frac{ \sqrt{x} }{ (\sqrt{3+x}+ \sqrt{3}) }= \frac{ \sqrt{0} }{ (\sqrt{3+0}+ \sqrt{3}) }=0$

Y ya¡...

Eso sería todo..espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas

Nota: para resolver límites como te mencioné tienes que emplear todo lo que sepas del álgebra, aritmética, trigonometría(aveces)...