Question

de una pagina cuadrada que mide "10" cm, se eliminan las esquinas con una tijera, para formar un octágono regular (sus ocho lados son iguales) ¿Cuánto mide cada lado?

Answer 1

Deberías dibujarte el octógono. O imagina una señal de STOP o mírala en el buscador de imágenes. 

El caso es que aquí hemos de representar cada lado del octógono como "x".

Si te fijas en la parte superior y sus tres lados, el del centro está horizontal, ok y mide "x" cm.

Luego se nos forman dos triángulos rectángulos, uno a cada lado del horizontal, sobre el cuadrado original de esa página.

Son justamente las esquinas que recortamos y son triángulos rectángulos isósceles ya que es como si tomáramos un cuadrado y lo dividiéramos en dos partes iguales por su diagonal.

Pues sabiendo la fórmula que relaciona lado y diagonal de cualquier cuadrado y que dice:
$Diagonal = Lado * \sqrt{2}$
y la diagonal es otro de los lados del eneágono, luego también será "x"

Despejo el lado y...
$Lado = \frac{x}{ \sqrt{2} }$

Sumando esos dos lados que son iguales, uno a cada lado del central más ese central, nos dará la medida del cuadrado original que dice que mide 10 cm.  Así se monta la ecuación:

$x + \frac{x}{ \sqrt{2} }+\frac{x}{ \sqrt{2} }=10 \\ \\ x\sqrt{2} +x+x=10 \sqrt{2} \\ \\ 2x+x \sqrt{2} =10\sqrt{2} \\ \\ x(2+\sqrt{2})=10\sqrt{2} \\ \\ x= \frac{10\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{14,14}{3,41} =4,14 \\ \\ Saludos.$