Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales de Cauchy-Euler
Solucionar las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler (Cada estudiante debe
desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar
cada paso efectuado para el desarrollo del mismo).
x^2y''-xy'+y=2x
Respuestas
Respuesta:
La solución a esta ecuación diferencial es y=C_1x^{-1}+C_2x^{-\sqrt{2}}+C_3x^{\sqrt{2}}y=C
1
x
−1
+C
2
x
−
2
+C
3
x
2
Para resolver la ecuación de Cauchy-Euler vamos a suponer que la solución a la misma es y=x^my=x
m
, con lo cual al sustituirla en la expresión planteada tiene que cumplirse la igualdad:
\frac{2}{7}x^3(m(m-1)(m-2))x^{m-3}+\frac{8}{7}x^2(m(m-1))x^{m-2}-\frac{4}{7}x^m=0
7
2
x
3
(m(m−1)(m−2))x
m−3
+
7
8
x
2
(m(m−1))x
m−2
−
7
4
x
m
=0
Como hay un denominador común 7, lo paso multiplicando al segundo miembro y multiplico las potencias de 'x':
\begin{gathered}2x^3(m(m-1)(m-2))x^{m-3}+8x^2(m(m-1))x^{m-2}-4x^m=0\\x^3(m(m-1)(m-2))x^{m-3}+4x^2(m(m-1))x^{m-2}-2x^m=0\\\\x^m[m(m-1)(m-2)]+4x^m[m(m-1)]-2x^m=0\end{gathered}
2x
3
(m(m−1)(m−2))x
m−3
+8x
2
(m(m−1))x
m−2
−4x
m
=0
x
3
(m(m−1)(m−2))x
m−3
+4x
2
(m(m−1))x
m−2
−2x
m
=0
x
m
[m(m−1)(m−2)]+4x
m
[m(m−1)]−2x
m
=0
Los factores x^mx
m
se pueden cancelar y queda:
\begin{gathered}[m(m-1)(m-2)]+4[m(m-1)]-2=0\\\\m(m^2-3m+2)+4[m^2-m]-2=0\\\\m^3-3m^2+2m+4m^2-4m-2=0\\\\m^3+m^2-2m-2=0\end{gathered}
[m(m−1)(m−2)]+4[m(m−1)]−2=0
m(m
2
−3m+2)+4[m
2
−m]−2=0
m
3
−3m
2
+2m+4m
2
−4m−2=0
m
3
+m
2
−2m−2=0
Ahora hay que hallar las raíces de este polinomio, una de ellas se obtiene por tanteo y es m=-1, las otras son:
\begin{gathered}~~~~~ | 1~~1~~-2~~-2\\-1|~~~-1~~0~~2\\----------------\\~~~~~|1~~0~~-2~~~0\end{gathered}
∣1 1 −2 −2
−1∣ −1 0 2
−−−−−−−−−−−−−−−−
∣1 0 −2 0
Lo que da como raíces:
\begin{gathered}m^2-2=0\\\\m=\ñ\sqrt{2}\end{gathered}
m
2
−2=0
m=\ñ
2
Con lo cual la solución general sería:
y=C_1x^{-1}+C_2x^{-\sqrt{2}}+C_3x^{\sqrt{2}}y=C
1
x
−1
+C
2
x
−
2
+C
3
x
2