Question

¿La región interior de un cuadrado es siempre un conjunto convexo? (Justifica tu respuesta)

Answer 1

Respuesta:

Corolario 1.1.1SiA⊂Rnconvexo, entoncesAes convexo.Demostraci ́on.A={x∈Rn|d(x,A) = 0}=∩r>0{x∈Rn|d(x,A)< r}=∩r>0U(A,r).Ahora  s ́olo  hay  que  aplicar  la  convexidad  deU(A,r)  y  el  apartado  (1)  de  la  Proposi-ci ́on 1.1.1.2Definici ́on 1.1.2Diremos quex∈Rnescombinaci ́on lineal convexa dex1,...,xk∈Rnsi existenλ1,...,λk∈Rno negativos con∑ki=1λi= 1 yx=∑ki=1λixi.Algunos comentarios sencillos:(k=  1):  El  conjunto  de  combinaciones  lineales  convexas  de  cualquierx∈Rnsereduce a{x}.(k= 2):x∈Rnes combinaci ́on lineal convexa dex1,x2∈Rnsi y s ́olo six∈[x1,x2].(k= 3): Six1,x2,x3∈Rnson af ́ınmente independientes, entoncesx∈Rnes combi-naci ́on lineal convexa dex1,x2,x3si y s ́olo sixest ́a en el tri ́angulo cerrado deRncon v ́erticesx1,x2,x3.(k=  4):  Six1,x2,x3,x4∈Rnson  af ́ınmente  independientes,  entoncesx∈Rnescombinaci ́on lineal convexa dex1,x2,x3,x4si y s ́olo sixest ́a en el tetraedro s ́olidocerrado deRncon v ́erticesx1,x2,x3,x4.Definici ́on 1.1.3SeaA⊂Rnno  vac ́ıo.  Laenvolvente  convexadeA,  conv(A),  es  elconjunto de puntos deRnque pueden escribirse como combinaci ́on lineal convexa de unacantidad finita de puntos deA.

Explicación paso a paso:

Answer 2

Respuesta:

No convexo/Concavo

Explicación paso a paso:

Los conjuntos no convexos cóncavos son los que poseen hueco y hundimiento mientras que los convexos no poseen ni hueco ni hundimiento;

conjuntos convexos:Círculo,Región triangular,Segmento

Ejemplos de conjuntos no convexos: cuadrado, Circunferencia, triángulo, O los ángulos