Question

Un resorte que se estira 50 cm al aplicarle una fuerza de 4 newton se cuelga un peso de 19.6N a este peso se le aleja de su posicion de equlibrio jalando 1 m hacia abajo si se suelta el peso estudiar el movimiento utilizando el metodo de transformada de laplace para su solucion

Answer 1

La posición del objeto respecto de la posición de equilibrio es $x(t)=1m.cos(2s^{-1}.t)$

Explicación paso a paso:

Al estirar el resorte tenemos la fuerza elástica dada por la ley de Hooke, directamente proporcional a la deformación, en la posición de equilibrio, esta fuerza compensa al peso de la carga.

$P=k.x$

Donde la constante k del resorte es:

$k=\frac{4N}{0,5m}=8\frac{N}{m}$

Al estirar hacia abajo 1 metro de la posición de equilibrio aparecerá una fuerza elástica extra y una aceleración:

$F=m.a=m.\frac{d^2x}{dt^2}\\\\-k.x=m.\frac{d^2x}{dt^2}$

Aplicando la transformada de Laplace podemos convertir esta ecuación diferencial en algebraica:

$-k.X(S)=m.S^2.X(S)-m.Sx_0-x'(0)\\\\k.X(S)+m.S^2.X(S)-mS.x_0-x'(0)=0\\\\x'(0)=0=>X(S)=\frac{S.m.x_0}{k+m.S^2}\\\\X(S)=\frac{S.m.x_0}{(k+m.S^2)}=\frac{Sm.x_0}{m(\frac{k}{m}+S)}=\frac{S.x_0}{S^2+\frac{k}{m}}$

La transformada inversa de esa expresión resulta una función coseno donde la pulsación angular es la raíz cuadrada del término independiente del denominador.

$x(t)=x_0.cos(\sqrt{\frac{k}{m}}.t)$

Reemplazando valores queda;

$m=\frac{P}{g}=\frac{19,6N}{9,8\frac{m}{s^2}}=2kg\\\\x(t)=1m.cos(\sqrt{\frac{8\frac{N}{m}}{2kg}}.t)\\\\x(t)=1m.cos(2s^{-1}.t)$