Question

Me ayudan plss

Sea A= {2 + 1/3n : n ∈ N}, probar que el ínfimo de A es 2

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                Ínfimo de un conjunto

Primero debemos definir que es una cota inferior.

                          Cota inferior

Sea "A" un conjunto tal que A ⊂ R. El elemento "r" es cota inferior de A si ∀x ∈ A se cumple que:    r ≤ x

Es decir un numero se llamara cota inferior si dicho numero es menor o igual que todos los elementos del conjunto

Pero cota inferiores pueden existir infinitas, por lo tanto, debemos definir cual puede ser la máxima, aquí es donde introducimos el concepto de ínfimo

                       Ínfimo

Sea A ⊂ R. El ínfimo "T" de A  denotado como Inf(A)= T es la máxima cota inferior del conjunto "A"

A su vez, este posee 2 propiedades, que nos serán útiles a la hora de demostrarlo  

• ∀x ∈ A se cumple que  T ≤  x  (esto no es mas que la definición  de cota inferior)

• ∀ y > T, ∃ por lo menos un x ∈ A tal que x<y ,    es decir no puede haber ningún y ∈ R mas grande que "T" que sea cota inferior del conjunto "A"

Debemos enunciar una propiedad que nos servirá para este ejercicio

                    Propiedad Arquimediana

∀ ε > 0,  ∃n ∈ N tal que:  

   $\frac{1}{n}$  < ε

Ahora vayamos al ejercicio

$A= (2+\frac{1}{3n} )$  

Donde:

n ∈ N  

Para que sea ínfimo, sabemos que se  deben cumplir 2 propiedades

• ∀ n ∈ N, se cumple que :  

         $2\leq 2+\frac{1}{3n}$

• ∀ n ∈ N tal que aₙ> 2, ∃k ∈ N tal que  aₖ < aₙ

Lo que hice fue expresar la propiedad (2) en terminos de una sucesión:

Vamos con la (1)

Primero procedemos a realizar un "Borrador", que nos servirá para luego realizar la demostración

Borrador:  Sabemos que:

$2\leq 2+\frac{1}{3n}$    

$2-2\leq 2+\frac{1}{3n} -2$

$0\leq \frac{1}{3n}$

$0*3\leq \frac{1}{3n}*3$

$0\leq \frac{1}{n}$  

Esto se cumple ∀n ∈ N

                        Demostración propiedad 1

Sabemos que, ∀n ∈ N  se cumple que:

$0\leq \frac{1}{n}$

$0*\frac{1}{3} \leq \frac{1}{n} *\frac{1}{3}$

$0\leq \frac{1}{3n}$

$0+2\leq \frac{1}{3n} +2$

$0\leq \frac{1}{3n} +2$

Ya tenemos la primera propiedad, ahora vamos con la (2)

Escribamos un borrador en primer lugar

Borrador:  Sabemos que aₖ < aₙ

$2+\frac{1}{3k} < a_{n}$

$2+\frac{1}{3k} -2< a_{n} -2$

$\frac{1}{3k} < a_{n} -2$

$\frac{1}{3k} *3<(a_n-2)*3$

$\frac{1}{k} <(a_n-2)*3$

Si aₙ - 2 > 0, entonces:    (aₙ - 2)*3 > 0

Sabemos que, por la propiedad arquimediana, tenemos garantizado un k ∈ N tal que:

$\frac{1}{k}$ < ε

Pero:

ε= (aₙ-2)*3

Entonces, nos queda:

$\frac{1}{k} <(a_{n} -2)*3$

Ahora, procedemos con la prueba

                           Demostración Propiedad 2

Sea aₙ > 0, sabemos además, que se cumple que:  aₙ -2 > 0.  Entonces:

(aₙ -2 )*3 > 0 .  Por la propiedad Arquimediana existe un k ∈ N  tal que:

$\frac{1}{k} <(a_{n} -2)*3$

$\frac{1}{k} *\frac{1}{3} < (a_{n} -2)*3*\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3k} <a_{n} -2$

$\frac{1}{3k} +2<a_{n} -2+2$

$\frac{1}{3k} +2<a_{n}$    

Habiendo probado (1) y (2), hemos demostrado que:   Inf(A)=2  

Saludoss