Question

La unidad flash de un fotoperiodista utiliza una batería de 18V para cargar un condensador de 0,15 microfaradios que luego se descarga a través de la lámpara de flash de resistencia 15ohm cuando se cierra el interruptor. La tensión mínima necesaria para la descarga del flash es de 15V. El condensador se carga a través de una resistencia de 18kohm. Cuánto tiempo se requiere para cargar el condensador a los 7V requeridos?
b¿ cuánta energía se libera cuando el flash de enciende?
c¿ cuánta energía es suministrada por la batería durante el ciclo de carga y que fracción de esa energía se disipa en la resistencia?​

Answer 1

Respuesta:

a) 13,44 ms

b) 16, 875 $\mu s$

c) 18,9 $\mu J$, 10,71 %

Explicación:

Primeramente, dejaré una imagen en la cual está ilustrado el circuito que representa el problema.

a) Para el proceso de carga, el interruptor se encuentra en a, el voltaje está dado por

$V(t)=V_0 \left(\ 1- e^{-t/RC} \right)$

Queremos hallar el tiempo t, sabiendo que cuando el voltaje vale 7, sabiendo que $V_0=18\,\,V$ y

$RC=18\times 10^3 \cdot 0,15 \times 10^{-6} = 2,7 \times 10^{-3}\,\, s$

Entonces

$7 = 18\left(\ 1- e^{-t/27,3\times 10^{-3}} \right)\,\, \implies \,\, e^{-t/27,3\times 10^{-3}} = 1 - \dfrac{7}{18} = \dfrac{11}{18}$

Aplicando logaritmo natural,

$\dfrac{-t}{27,3 \times 10^{-3}} = \ln{ \left( \dfrac{11}{18} \right) } \implies \,\, t = -27,3 \times 10^{-3} \ln{ \left( \dfrac{11}{18} \right) }$

$t= 13,44$ ms

b) Necesitamos calcular la energía que se libera cuando el flash se enciende, esto está dado por

$U = \dfrac{1}{2}C V^2 \implies U = \dfrac{1}{2} \cdot 0,15 \times 10^{-6} \cdot 15^2$

$U= 16,875\,\, \mu J$

c) Debemos calcular primeramente la energía de la batería, que está dado por

$E_{bat}= \Delta V \displaystyle\int_0^{t} I(\omega)\, d \omega$

$E_{bat} = \Delta V I_0 \displaystyle\int_{0}^{t} e^{-\omega/RC}\, d \omega \implies E_{bat} = \Delta V \cdot \dfrac{\Delta V}{R} \displaystyle\int_{0}^{t} e^{-\omega/RC}\, d \omega$

$E_{bat} = \dfrac{\Delta V^2}{R}\displaystyle\int_{0}^{t} e^{-\omega/RC}\, d \omega \implies E_{bat} = \dfrac{\Delta V^2}{R} \left[ -RC e^{-\omega/RC} \right]^{t}_0$

$E_{bat} = \dfrac{\Delta V^2}{R} \left[ -RC \left( e^{-t/RC} - 1\right) \right] \implies E_{bat}=\Delta V^2 C \left( 1 - e^{-t/RC} \right)$

$E_{bat} = \dfrac{7}{18}\Delta V^2 C$

$E_{bat} = \dfrac{7}{18} 15^2 \cdot 0,15 \times 10^{-3}$

$E_{bat} = 18,9 \,\, \mu J$

Luego, la energía disipada está dada por

$E_{dis}=E_{bat} - U \implies E_{dis} = 18,9 \mu J - 16,875\,\, \mu J$

$E_{dis} = 2,0,25 \,\, \mu J$

Entonces, el porcentaje viene dado por

$Porcentaje = \dfrac{2,025}{18,9}\cdot 100 = 10,71 \%$