Question

graficar aplicando el criterio de la segunda derivada

Y=3x^4-6x^2+1

Answer 1

Para dibujar una función únicamente usando derivadas, y nuestro ingenio...procedemos de la siguiente manera

1. Establecemos el dominio de la función:
$f(x)=3 x^{4} -6 x^{2} +1$
Para toda función de grado mayor o igual a 2, el dominio son los reales...porque no hay ninguna restricción del dominio.  "x"...puede tomar cualquier valor..
Df(x)=x∈R

2. Calcular la primera y segunda derivada (confío en que sabes derivar)

$f(x)=3 x^{4} -6 x^{2} +1 \\ f'(x)=12 x^{3} -12x \\ f''(x)=36 x^{2} -12$

3. Puntos críticos (pendiente vale cero)
Para calcular donde la pendiente sea cero hacemos $f'(x)=0$
$12 x^{3} -12x =0 \\ 12x( x^{2} -1)=0$

Ahora usamos el teorema del factor nulo que nos dice
Si: (a)(b)=0 entonces eso significa que a=0    o     b=0

usemos éste criterio
$12x=0$   además $x^{2} -1=0$

Entonces para el primer factor tenemos
$12x=0 \\ x=0$
Y por el otro factor tenemos
$x^{2} -1=0 \\ (x+1)(x-1)=0$
Volvemos a aplicar el mismo criterio
nos queda que x=1 y x=-1
En resumen los puntos críticos son los siguientes
$x=0 \\ x=1 \\ x=-1$

4. Ahora vamos a determinar si la función es creciente o decreciente usando éstos criterios:

$f'(x)\ \textgreater \ 0:(creciente) \\ f'(x)\ \textless \ 0:(decreciente)$
Ahora tenemos que hacer una tabla con los puntos críticos que obtuvimos anteriormente y loo factores que obtuvimos...te lo dejo en la primera imagen

5. Calcular puntos de inflexión para ésto usamos la segunda derivada igualada a cero

$f''(x)=36 x^{2} -12 \\ 36 x^{2} -12=0 \\ 12(3 x^{2} -1)=0 \\ 3 x^{2} -1=0 \\ x^{2} = \frac{1}{3} \\ x _{1} =- \sqrt{ \frac{1}{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{3} =-0.577 \\ x_{2} =+ \sqrt{ \frac{1}{3} } =+0.577$

Entonces tenemos dos puntos de inflexión es decir hay dos puntos donde la función cambia de cóncava a convexa

6.Ahora vamos a ver si es cóncava (abre para arriba) convexa(abre para abajo) usando los siguientes criterio

$f''(x)\ \textless \ 0:(convexa(abajo)) \\ f''(x)\ \textgreater \ 0:(concava(arriba))$

Ahora tenemos que realiza otra tabla con los puntos de inflexión que ya los obtuvimos ver la segunda imagen

7.Ya casi para terminar....tenemos todos los valores en el eje "x"...ahora busquemos los valores que les corresponde en el eje "y"....entonces vamos a hacer otra tabla, con éstos valores y reemplazamos en la ecuación original, te lo dejo en la tercera imagen

8. Por último calculamos las raíces de ese polinomio, para lo cual hacemos. f(x)=0
$3 x^{4} -6 x^{2} +1=0$
Bueno eso resolviendo en una calculadora nos quedó

$x_{1} =1,35 \\ x_{2} =0.43 \\ x_{3} =-0.43 \\ x_{4} =-1,35$

Ya ahora sí uniendo toda la información recolectada podemos graficar nuestra función...

Te la deja en la última imagen y sería todo espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas..disculpa por demorarme estuve bastante ocupado el día de hoy...