Respuestas
Respuesta:
Repaso de la ley de exponentes
1 \displaystyle x^n \cdot x^m = x^{n+m}
2 \displaystyle \cfrac{x^n}{x^m} = x^{n-m}
3 \displaystyle x^{-n} = \cfrac{1}{x^n}
4 \displaystyle x^0 = 1
5 \displaystyle (x^n)^m = x^{n \cdot m}
1 \displaystyle \sqrt[m]{x^n}= x^{\frac{n}{m}}
Ejercicios propuestos
1Simplifica empleando las leyes de los exponentes
1 3^3 \cdot 3^4 \cdot 3
2 5^7 : 5^3
3 \left ( 5^3 \right )^4
4 \left ( 5 \cdot 2 \cdot 3 \right )^4
5 \left ( 3^4 \right )^4
6 \left [ \left ( 5^3 \right )^4 \right ]^2
7 \left ( 8^2 )^3
8 \left ( 9^3 )^2
9 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2
10 2^7 : 2^6
11 \left ( 2^2 \right )^4
12 \left ( 4 \cdot 2 \cdot 3 \right )^4
13 \left ( 2^5 \right )^4
14 \left [ \left ( 2^3 \right )^4 \right ]^0
15 \left ( 27^2 \right )^5
16 \left ( 4^3 \right )^2
Solución
2Realizar las siguientes operaciones con potencias:
1 (-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4
2 (-8) \cdot (-2)^2 \cdot (-2)^0 \cdot (-2)
3 (-2)^{-2} \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4
4 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4
5 2^{2} : 2^3
6 2^{-2} : 2^3
7 2^{2} : 2^{-3}
8 2^{-2} : 2^{-3}
9 \left [(-2)^{-2} \right ]^3 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4
10 \left [(-2)^{6} : (-2)^3 \right ]^3 \cdot (-2) \cdot (-2)^{-4}
Solución
3Realizar las siguientes operaciones con potencias:
1 (-3)^{1} \cdot (-3)^{3} \cdot (-3)^4
2 (-27) \cdot (-3) \cdot (-3)^2 \cdot (-3)^0
3 \displaystyle (-3)^2 \cdot (-3)^3 \cdot (-3)^{-4}
4 3^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 3^4
5 5^{2} : 5^3
6 5^{-2} : 5^3
7 5^{2} : 5^{-3}
8 5^{-2} : 5^{-3}
9(-3)^{1} \cdot \left [(-3)^{3} \right ]^2 \cdot (-3)^{-4}
10 \left [(-3)^{6} : (-3)^3 \right ]^3 \cdot (-3)^0 \cdot (-3)^{-4}
Solución
4Realizar las siguientes operaciones con potencias:
1{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^3}
2{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^3}
3{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}
4{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}
5{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{2} \right)^{-3}}
6{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 : \left(\frac{2}{3} \right)^{3}}
7{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{3}}
8{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}
9{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}
10{\displaystyle \left(\frac{3}{2} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}
11{\displaystyle \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{2}\right]^3}
12{\displaystyle \left\{\left[\left(\frac{2}{3} \right)^{2}\right]^3\right\}^{-4}}
13{\displaystyle \left(\frac{4}{9} \right)^{-2} : \left(\frac{27}{8} \right)^{-3}}
Solución
5Simplifica la siguiente expresión:
{\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} }
Solución
6Simplifica la siguiente expresión:
{\displaystyle \frac{\displaystyle \left( 2 - \frac{1}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( 3 - \frac{2}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{4} - \frac{2}{7} : \frac{1}{2} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} : \frac{1}{5} \right)} - 5\frac{1}{7} }}
Solución
7Calcula los valores de las siguientes potencias:
1 \displaystyle 16^{\frac{3}{2}}
2 \displaystyle 8^{\frac{2}{3}}
3 \displaystyle 81^{0.75}
4 \displaystyle 8^{0.333 \dots }
Explicación:
Solución
1 \displaystyle 16^{\frac{3}{2}}
Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción y el exponente del radicando es el numerador. Descomponemos 16 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores
16^{\frac{3}{2}} = \sqrt{16^3} = \sqrt{\left ( 2^4 \right )^3} = \sqrt{2^{12}} = 2^6 = 64
2 \displaystyle 8^{\frac{2}{3}}
Descomponemos 8 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores
8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{ \left ( 2^3 \right )^2} = \sqrt[3]{2^6} = 2^2 = 4
3 \displaystyle 81^{0.75}
En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores
81^{0.75} = 81^{\frac{75}{100}}= 81^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{\left ( 3^4 \right )^3} = \sqrt[4]{3^{12}} = 3^3 = 27
4 \displaystyle 8^{0.333 \dots}
El exponente que es un periódico puro lo pasamos a fracción.
0.333 \dots = \cfrac{1}{3}
Sustituimos, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores
8^{0.333 \dots} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2