0) Hallar el valor de P en la ecuación (p+3)x2+2p(x+1)+3=0 si una
raíz sea igual a la mitad del reciproco de la otra
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Sabemos que podemos encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado con la resolvente:
sea el polinomio: ax^{2} -bx+cax2−bx+c
sus raíces son:
x_{1} = \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}x1=2a−b+b2−4ac
x_{2} = \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}x2=2a−b−b2−4ac
Primero desarrollamos el polinomio:
(k+3)x^{2} +(2k)x+(2k+3)(k+3)x2+(2k)x+(2k+3) , por lo tanto:
- a= k+3
- b= 2k
- c= 2k+3
Por lo que las raíces del polinomio dado son:
x_{1} = \frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}x1=2(k+3)−2k+4k2−4(k+3)(2k+3)
x_{2} = \frac{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}x2=2(k+3)−2k−4k2−4(k+3)(2k+3)
Reciproco: Dado un número "a" el reciproco de "a" es número "b", tal que a*b = 1. Para el conjunto de los reales el reciproco de a es 1/a.
Quiero que la segunda raíz sea igual a la mitad del reciproco de la otra:
\frac{1}{2(x_{2})}2(x2)1
\frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)} = \frac{4*(k+3)}{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}2(k+3)−2k+4k2−4(k+3)(2k+3)=−2k−4k2−4(k+3)(2k+3)4∗(k+3)
(-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})*(-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})=(k+3)*8(k+3)(−2k+4k2−4(k+3)(2k+3))∗(−2k−4k2−4(k+3)(2k+3))=(k+3)∗8(k+3)
(-2k)^{2}-(\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})^{2}=8*(k+3)^{2}(−2k)2−(4k2−4(k+3)(2k+3))2=8∗(k+3)2
4k^{2}-(4k^{2}-4(k+3)(2k+3))=8*(k^{2} +6k+9)4k2−(4k2−4(k+3)(2k+3))=8∗(k2+6k+9)
4k^{2}-4k^{2}+4(k+3)(2k+3))=8k^{2} +48k+724k2−4k2+4(k+3)(2k+3))=8k2+48k+72
(4k+12)(2k+3)=8k^{2} +48k+72(4k+12)(2k+3)=8k2+48k+72
8k^{2}+12k+24k+36 =8k^{2} +48k+728k2+12k+24k+36=8k2+48k+72
36k-48k =72-3636k−48k=72−36
-12k= 36
k= -3
Se puede probar utilizando que la segunda raíz es la que es la mitad del reciproco de la segunda y obtendremos lo mismo. (pues no es relevante al resolver el sistema, nos queda igual)
Explicación paso a paso:
Sabemos que podemos encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado con la resolvente:
sea el polinomio: ax^{2} -bx+cax2−bx+c
sus raíces son:
x_{1} = \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}x1=2a−b+b2−4ac
x_{2} = \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}x2=2a−b−b2−4ac
Primero desarrollamos el polinomio:
(k+3)x^{2} +(2k)x+(2k+3)(k+3)x2+(2k)x+(2k+3) , por lo tanto:
- a= k+3
- b= 2k
- c= 2k+3
Por lo que las raíces del polinomio dado son:
x_{1} = \frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}x1=2(k+3)−2k+4k2−4(k+3)(2k+3)
x_{2} = \frac{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)}x2=2(k+3)−2k−4k2−4(k+3)(2k+3)
Reciproco: Dado un número "a" el reciproco de "a" es número "b", tal que a*b = 1. Para el conjunto de los reales el reciproco de a es 1/a.
Quiero que la segunda raíz sea igual a la mitad del reciproco de la otra:
\frac{1}{2(x_{2})}2(x2)1
\frac{-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}{2(k+3)} = \frac{4*(k+3)}{-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)}}2(k+3)−2k+4k2−4(k+3)(2k+3)=−2k−4k2−4(k+3)(2k+3)4∗(k+3)
(-2k+\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})*(-2k-\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})=(k+3)*8(k+3)(−2k+4k2−4(k+3)(2k+3))∗(−2k−4k2−4(k+3)(2k+3))=(k+3)∗8(k+3)
(-2k)^{2}-(\sqrt{4k^{2}-4(k+3)(2k+3)})^{2}=8*(k+3)^{2}(−2k)2−(4k2−4(k+3)(2k+3))2=8∗(k+3)2
4k^{2}-(4k^{2}-4(k+3)(2k+3))=8*(k^{2} +6k+9)4k2−(4k2−4(k+3)(2k+3))=8∗(k2+6k+9)
4k^{2}-4k^{2}+4(k+3)(2k+3))=8k^{2} +48k+724k2−4k2+4(k+3)(2k+3))=8k2+48k+72
(4k+12)(2k+3)=8k^{2} +48k+72(4k+12)(2k+3)=8k2+48k+72
8k^{2}+12k+24k+36 =8k^{2} +48k+728k2+12k+24k+36=8k2+48k+72
36k-48k =72-3636k−48k=72−36
-12k= 36
k= -3
Se puede probar utilizando que la segunda raíz es la que es la mitad del reciproco de la segunda y obtendremos lo mismo. (pues no es relevante al resolver el sistema, nos queda igual)